Question de mathsMathsDénombrement

Combien d'anagrammes possède un mot dont certaines lettres se répètent ?

Q: Combien d'anagrammes de MISSISSIPPI commencent par M ?

On place les 10 autres lettres : $10!/(4! 4! 2!)=3 150$, soit $1/11$ du total, logique car M est une des 11 lettres.

Le mot MATHS a 5! = 120 anagrammes, mais MISSISSIPPI n'en a que 34 650 : on choisit successivement les positions de chaque lettre avec des combinaisons, ou on divise 11! par les permutations des lettres identiques.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En jouant à un jeu de lettres, je me suis demandé combien de mots on peut former en mélangeant les lettres d'un mot donné. Pour un mot aux lettres distinctes, la factorielle suffit. Mais avec des lettres répétées, mon premier calcul comptait plusieurs fois les mêmes mots. J'ai voulu comprendre comment corriger ce double comptage.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer des arrangements avec répétitions de deux façons (choix successifs de positions, division par les permutations indiscernables) et justifier qu'elles concordent.

Mathématiques

Permutations $n!$ n! (terminale)
Combinaisons $(k n)$ binom nk et choix de positions (terminale)
Principe multiplicatif (terminale)
Double comptage (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : des lettres distinctes ou non
1,5 min
MATHS a 5 lettres distinctes : $5! = 120$ 5!=120 anagrammes (avec ou sans sens). MISSISSIPPI a 11 lettres dont 4 S, 4 I et 2 P. Problématique : comment compter ses anagrammes sans compter deux fois le même mot ?
2. Méthode 1 : choisir des positions
3,5 min
On place d'abord les 4 S parmi les 11 positions : $(4 11) = 330$ binom114=330 choix. Puis les 4 I parmi les 7 restantes : $(4 7) = 35$ binom74=35. Puis les 2 P parmi les 3 restantes : $(2 3) = 3$ binom32=3. Le M occupe la dernière.
Par le principe multiplicatif : $330 \times 35 \times 3 = 34650$ 330×35×3=34 650 anagrammes.
3. Méthode 2 : diviser les permutations
3,5 min
Si l'on numérote les lettres identiques (S₁, S₂, S₃, S₄…), on obtient $11!$ 11! permutations. Chaque anagramme réel correspond à $4! \times 4! \times 2!$ 4!×4!×2! permutations numérotées (on peut échanger les S entre eux, les I entre eux, les P entre eux).
Donc le nombre d'anagrammes vaut $\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2 !} = \frac{39 916 800}{24 \times 24 \times 2} = 34650$ 11!/(4! 4! 2!)=(39 916 800)/24×24×2=34 650. Les deux méthodes concordent, ce qui valide le raisonnement.
4. Conclusion
1,5 min
Un mot de $n$ n lettres dont certaines se répètent $k_{1}, k_{2}, \dots$ k₁,k₂,… fois a $\frac{n !}{k _{1} ! k _{2} ! \dots}$ n!/(k₁! k₂!…) anagrammes. Cette formule se démontre en corrigeant un double comptage ou en choisissant des positions. J'ouvre sur les probabilités : la probabilité qu'un mélange aléatoire des lettres redonne MISSISSIPPI est $\frac{1}{34 650}$ 1/(34 650).

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(4 11) \times (4 7) \times (2 3) = 330 \times 35 \times 3 = 34650 C(11, 4) \times C(7, 4) \times C(3, 2) =330\times35\times3=34 650 \frac{11 !}{4 ! \times 4 ! \times 2 !} = \frac{39 916 800}{1 152} = 34650 11!/4!\times4!\times2!=(39 916 800)/(1 152)=34 650

Conclusion : la réponse à la question

Les lettres répétées divisent le nombre d'anagrammes : MISSISSIPPI en a 34 650 au lieu de $11!$ 11!. Deux raisonnements indépendants (positions et double comptage) donnent le même résultat, ce qui est la meilleure des vérifications.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien d'anagrammes du mot ANANAS ?

$\frac{6 !}{3 ! 2 ! 1 !} = \frac{720}{12} = 60$ 6!/(3! 2! 1!)=720/12=60.

Pourquoi divise-t-on par 4! pour les S ?

Parce que les 4! façons d'ordonner S₁, S₂, S₃, S₄ entre eux donnent le même mot une fois les numéros effacés.

Combien d'anagrammes de MISSISSIPPI commencent par M ?

On place les 10 autres lettres : $\frac{10 !}{4 ! 4 ! 2 !} = 3150$ 10!/(4! 4! 2!)=3 150, soit $\frac{1}{11}$ 1/11 du total, logique car M est une des 11 lettres.

Quel lien avec les chemins dans une grille ?

Un chemin est un anagramme d'un mot formé de E et de N : le nombre $\frac{( m + n )!}{m ! n !} = (n m + n)$ ((m+n)!)/(m! n!)=binomm+nn est un cas particulier de la formule.

Combien d'anagrammes de MATHEUX ont leurs trois voyelles côte à côte ?

On colle A, E, U en un bloc : 5 objets (bloc, M, T, H, X) donnent $5!$ 5! ordres, et $3!$ 3! ordres dans le bloc : $120 \times 6 = 720$ 120×6=720.

Quelle est la probabilité qu'une anagramme aléatoire de MISSISSIPPI commence par S ?

Il y a 4 S parmi 11 lettres : par symétrie, la probabilité est $\frac{4}{11}$ 4/11. On le vérifie en comptant : $\frac{10 !}{3 ! 4 ! 2 !} = 12600$ 10!/(3! 4! 2!)=12 600 anagrammes commencent par S, et $\frac{12 600}{34 650} = \frac{4}{11}$ (12 600)/(34 650)=4/11.

Les pièges qui coûtent des points

Répondre $11!$ 11! en oubliant les lettres identiques.
Diviser par 4 au lieu de 4! pour quatre lettres identiques.
Ne pas vérifier par une seconde méthode.

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