Question de mathsMathsDénombrement

Un mélange de cartes a-t-il déjà existé dans l'histoire ?

Un jeu de 52 cartes peut être ordonné de 52! ≈ 8 × 10⁶⁷ façons : même en mélangeant des milliards de jeux par seconde depuis le Big Bang, on n'en aurait exploré qu'une fraction infime. Un mélange bien fait est presque sûrement inédit.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un magicien a affirmé qu'un mélange bien fait de cartes n'avait « jamais existé auparavant dans l'histoire ». La phrase m'a paru exagérée. En cours de dénombrement, j'ai appris que le nombre d'ordres possibles est $52!$ 52!, et j'ai voulu mesurer ce que représente ce nombre.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer des permutations, estimer un nombre gigantesque sans calculatrice et interpréter une probabilité infime.

Mathématiques

Permutations d'un ensemble à $n$ n éléments : $n!$ n! (terminale)
Principe multiplicatif (terminale)
Encadrements et puissances de 10 (seconde)
Probabilité d'au moins une répétition, événement contraire (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une affirmation à vérifier
1,5 min
Je cite l'affirmation du magicien. Problématique : combien d'ordres différents peut prendre un jeu de 52 cartes, et est-il plausible qu'un mélange se soit déjà produit ?
2. Compter les ordres possibles
3 min
Pour la première position, 52 cartes possibles ; pour la deuxième, 51 ; …, pour la dernière, 1. Par le principe multiplicatif, il y a $52 \times 51 \times \dots \times 1 = 52!$ 52×51×…×1=52! ordres : ce sont les permutations du jeu.
Encadrement sans calculatrice : les 43 facteurs de 10 à 52 sont au moins égaux à 10, donc $52! > 1 0^{43}$ 52!>10⁴³. Tous les facteurs sont inférieurs à 100, donc $52! < 10 0^{52} = 1 0^{104}$ 52!<100⁵²=10¹⁰⁴. La valeur exacte est environ $8, 07 \times 1 0^{67}$ 8,07×10⁶⁷.
3. Comparer avec tous les mélanges réalisés
4 min
Imaginons 10 milliards de personnes qui mélangent un jeu chaque seconde depuis le Big Bang (environ $4, 4 \times 1 0^{17}$ 4,4×10¹⁷ secondes). Cela fait environ $4, 4 \times 1 0^{27}$ 4,4×10²⁷ mélanges, une fraction $\frac{4 , 4 \times 1 0 ^{27}}{8 \times 1 0 ^{67}} \approx 5 \times 1 0^{- 41}$ 4,4×10²⁷/8×10⁶⁷≈5×10⁻⁴¹ des ordres possibles.
La probabilité qu'un nouveau mélange coïncide avec l'un d'eux est donc au plus de l'ordre de $1 0^{- 40}$ 10⁻⁴⁰. Même en tenant compte du paradoxe des anniversaires (qui demanderait environ $52! \approx 1 0^{34}$ √(52!)≈10³⁴ mélanges pour espérer une coïncidence), on reste très loin.
À une condition : le mélange doit être vraiment aléatoire. Un jeu neuf mélangé une seule fois reste très ordonné.
4. Conclusion
1,5 min
Le magicien a raison : un mélange bien fait est presque sûrement unique dans l'histoire, car $52! \approx 8 \times 1 0^{67}$ 52!≈8×10⁶⁷ dépasse de très loin le nombre de mélanges jamais réalisés. J'ouvre sur la question pratique : il faut environ sept mélanges « à l'américaine » pour qu'un jeu soit bien mélangé, un résultat de probabilités plus avancé.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

52! = 52 \times 51 \times \dots \times 2 \times 1 \approx 8, 07 \times 1 0^{67} 52!=52\times51\times\dots\times2\times1\approx8,07\times10⁶⁷ 1 0^{43} < 52! < 10 0^{52} = 1 0^{104} 10⁴³<52!<100⁵²=10¹⁰⁴ \frac{1 0 ^{10} \times 4 , 4 \times 1 0 ^{17}}{8 \times 1 0 ^{67}} \approx 5 \times 1 0^{- 41} 10¹⁰\times4,4\times10¹⁷/8\times10⁶⁷\approx5\times10⁻⁴¹

Conclusion : la réponse à la question

Il y a $52! \approx 8 \times 1 0^{67}$ 52!≈8×10⁶⁷ ordres possibles d'un jeu de cartes, un nombre si grand que tous les mélanges réalisés par l'humanité n'en couvrent qu'une fraction de l'ordre de $1 0^{- 40}$ 10⁻⁴⁰. Un mélange vraiment aléatoire est donc, en pratique, unique.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien d'ordres pour un jeu de 32 cartes ?

$32! \approx 2, 6 \times 1 0^{35}$ 32!≈2,6×10³⁵ : beaucoup moins, mais toujours bien au-delà de tous les mélanges jamais réalisés.

Pourquoi 0! = 1 ?

Il y a une seule façon de ranger un ensemble vide ; c'est aussi la convention qui rend la formule $n! = n \times (n - 1)!$ n!=n×(n-1)! valable pour $n = 1$ n=1.

Combien de mains de 5 cartes dans un jeu de 52 ?

$(5 52) = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{120} = 2598960$ binom525=52×51×50×49×48/120=2 598 960. L'ordre ne compte pas : on divise les arrangements par $5!$ 5!.

Comment simuler un mélange parfait en Python ?

Avec random.shuffle, qui applique l'algorithme de Fisher-Yates : chaque permutation a la même probabilité 1/52!.

Quelle est la probabilité de retrouver l'ordre neuf du jeu après un mélange aléatoire ?

$\frac{1}{52 !} \approx 1, 2 \times 1 0^{- 68}$ 1/52!≈1,2×10⁻⁶⁸, autant que n'importe quel autre ordre précis.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre $52!$ 52! et $5 2^{52}$ 52⁵² : les cartes ne se répètent pas.
Annoncer le résultat sans hypothèse sur la qualité du mélange.
Donner des ordres de grandeur sans les justifier par un encadrement.

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