Combien de caractères faut-il pour qu'un mot de passe soit sûr ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Les sites internet m'imposent des mots de passe avec majuscules, chiffres et symboles, et je trouvais ces règles arbitraires. En étudiant le dénombrement en terminale, j'ai compris qu'elles se justifient par un calcul simple : le nombre de mots de passe possibles. J'ai voulu chiffrer ce que gagne chaque règle.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer des p-uplets d'un ensemble fini et comparer des croissances : pourquoi la longueur compte plus que la variété des caractères.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : une attaque par force brute

   1,5 min

   Un pirate qui a volé une base de mots de passe chiffrés les teste un par un. Avec du matériel spécialisé, on peut compter de l'ordre de $10^{10}$10¹⁰ essais par seconde. Problématique : combien de mots de passe faut-il pour qu'une telle attaque devienne impossible ?

2. 2. Compter les mots de passe

   3,5 min

   Un mot de passe de $p$p caractères choisis dans un alphabet de $n$n symboles est un $p$p-uplet : chaque position offre $n$n choix, et par le principe multiplicatif il y a $n^p$n^(p) mots de passe.

   Avec 26 minuscules et 8 caractères : $26^8\approx 2,1\times 10^{11}$26⁸≈2,1×10¹¹, soit 21 secondes d'attaque. Avec les 94 caractères imprimables du clavier : $94^8\approx 6,1\times 10^{15}$94⁸≈6,1×10¹⁵, environ 7 jours. Avec 12 caractères parmi 94 : $94^{12}\approx 4,8\times 10^{23}$94¹²≈4,8×10²³, soit environ 1,5 million d'années.

3. 3. Longueur ou variété ?

   3,5 min

   Comparons : passer de 26 à 94 symboles sur 8 caractères multiplie le nombre par ${\left(\frac{94}{26}\right)}^8\approx 3\times 10^4$(94/26)⁸≈3×10⁴. Ajouter 4 caractères à un mot de passe en minuscules ($26^{12}$26¹² au lieu de $26^8$26⁸) le multiplie par $26^4\approx 4,6\times 10^5$26⁴≈4,6×10⁵.

   Avec le logarithme : $\ln (n^p)=p\ln n$ln(n^(p))=pln n. La sécurité croît linéairement avec la longueur $p$p, mais seulement comme $\ln n$ln n avec la taille de l'alphabet. Une phrase de passe longue en minuscules (16 lettres : $26^{16}\approx 4,4\times 10^{22}$26¹⁶≈4,4×10²²) est aussi sûre qu'un mot de passe court et compliqué, et bien plus facile à retenir.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Un mot de passe sûr compte au moins 12 caractères variés ou une phrase de passe d'au moins 16 lettres. Le dénombrement montre que la longueur est le levier principal. J'ouvre sur les limites du modèle : un mot de passe composé de mots du dictionnaire ou d'une date de naissance se devine bien plus vite que par force brute.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre $n^p$n^(p) et $p^n$pⁿ.
• Présenter la vitesse d'attaque comme une donnée exacte : c'est un ordre de grandeur.
• Oublier que le modèle suppose un mot de passe choisi au hasard.

Revoir les notions

• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →

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