Démontrez $binom nk=binom nn-k$.

Choisir les $k$ éléments que l'on garde revient à choisir les $n-k$ éléments que l'on écarte : les deux dénombrements correspondent un à un.

Quelle est la formule de $binom nk$ ?

$binom nk=n!/(k!(n-k)!)$ : les $n!/((n-k)!)$ arrangements de $k$ éléments, divisés par les $k!$ ordres possibles de chaque choix.

Question de mathsMathsDénombrement

Pourquoi le triangle de Pascal donne-t-il les coefficients du développement de (a + b)ⁿ ?

Q: Développez $(x+2)⁴$.

$x⁴+4×2x³+6×4x²+4×8x+16=x⁴+8x³+24x²+32x+16$.

Q: Quel lien avec la loi binomiale ?

$P(X=k)=binom nkp^(k)(1-p)^(n-k)$ : on retrouve les termes du développement de $(p+(1-p))ⁿ=1$, ce qui prouve que les probabilités somment à 1.

Q: Que vaut $Σₖ(-1)^(k)binom nk$ ?

$(1-1)ⁿ=0$ pour $n≥1$ : il y a autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair.

Le coefficient de aᵏbⁿ⁻ᵏ dans (a + b)ⁿ compte les façons de choisir k facteurs « a » parmi n : c'est C(n, k). La relation de Pascal, démontrée par dénombrement, explique la construction du triangle.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au collège, on m'a appris $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)²=a²+2ab+b². En terminale, j'ai vu que les coefficients 1, 2, 1, puis 1, 3, 3, 1 forment le triangle de Pascal, et que ce sont aussi des nombres de combinaisons. J'ai voulu comprendre pourquoi un calcul algébrique et un problème de dénombrement donnent les mêmes nombres.

L'enjeu et les notions du programme

Relier algèbre et dénombrement : démonstration combinatoire de la relation de Pascal et de la formule du binôme.

Mathématiques

Combinaisons, nombre $(k n)$ binom nk (terminale)
Relation de Pascal $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ binom nk= C(n-1, k-1) +binomn-1k (terminale)
Formule du binôme de Newton (terminale)
Somme $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ Σ_k=0ⁿbinom nk=2ⁿ (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un triangle mystérieux
1,5 min
J'écris au tableau les premières lignes du triangle : chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus. Problématique : pourquoi ce triangle donne-t-il les coefficients de $(a + b)^{n}$ (a+b)ⁿ, et que comptent ces nombres ?
2. Développer, c'est choisir
3,5 min
$(a + b)^{n} = (a + b) (a + b) \dots (a + b)$ (a+b)ⁿ=(a+b)(a+b)…(a+b) avec $n$ n facteurs. Développer, c'est choisir dans chaque facteur soit $a$ a, soit $b$ b, puis multiplier. On obtient $a^{k} b^{n - k}$ a^(k)b^(n-k) chaque fois qu'on a choisi $a$ a dans exactement $k$ k facteurs.
Le nombre de façons de choisir ces $k$ k facteurs parmi $n$ n est $(k n)$ binom nk. Donc $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{k} b^{n - k}$ (a+b)ⁿ=Σ_k=0ⁿbinom nka^(k)b^(n-k). Exemple : dans $(a + b)^{3}$ (a+b)³, le terme $a^{2} b$ a²b apparaît pour les choix $aab$ aab, $aba$ aba, $baa$ baa, soit $(2 3) = 3$ binom32=3 fois.
3. La relation de Pascal par dénombrement
3,5 min
On veut montrer $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ binom nk= C(n-1, k-1) +binomn-1k. On compte les parties à $k$ k éléments d'un ensemble à $n$ n éléments, dont un élément particulier $x$ x.
Soit la partie contient $x$ x : il reste $k - 1$ k-1 éléments à choisir parmi les $n - 1$ n-1 autres, $(k - 1 n - 1)$ C(n-1, k-1) façons. Soit elle ne le contient pas : on choisit $k$ k éléments parmi $n - 1$ n-1, $(k n - 1)$ binomn-1k façons. Les deux cas sont disjoints et couvrent tout : la relation est démontrée.
C'est exactement la règle de construction du triangle. Conséquence : avec $a = b = 1$ a=b=1, $\sum_{k} (k n) = 2^{n}$ Σₖbinom nk=2ⁿ, le nombre total de parties.
4. Conclusion
1,5 min
Le triangle de Pascal donne les coefficients du binôme parce que développer un produit revient à choisir, et que le nombre de choix obéit à la relation de Pascal. Une même famille de nombres sert l'algèbre, le dénombrement et les probabilités (loi binomiale). J'ouvre sur la symétrie $(k n) = (n - k n)$ binom nk=binom nn-k : choisir ceux qu'on prend, c'est choisir ceux qu'on laisse.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} (a+b)ⁿ=Σ_k=0ⁿ C(n, k) a^(k)b^(n-k) (k n) = contient x (k - 1 n - 1) + ne contient pas x (k n - 1) C(n, k) = C(n-1, k-1) _contient x+ C(n-1, k) _ne contient pas x 111121133114641 c1 ; 1 1 ; 1 2 1 ; 1 3 3 1 ; 1 4 6 4 1

Conclusion : la réponse à la question

Les coefficients de $(a + b)^{n}$ (a+b)ⁿ comptent des choix : $(k n)$ binom nk façons de prendre $a$ a dans $k$ k facteurs. La relation de Pascal, démontrée en séparant deux cas, explique la construction du triangle. C'est un bel exemple de démonstration par dénombrement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Développez

(x + 2)^{4}

(x+2)⁴.

$x^{4} + 4 \times 2 x^{3} + 6 \times 4 x^{2} + 4 \times 8 x + 16 = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ x⁴+4×2x³+6×4x²+4×8x+16=x⁴+8x³+24x²+32x+16.

Démontrez

(k n) = (n - k n)

binom nk=binom nn-k.

Choisir les $k$ k éléments que l'on garde revient à choisir les $n - k$ n-k éléments que l'on écarte : les deux dénombrements correspondent un à un.

Quelle est la formule de

(k n)

binom nk ?

$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ binom nk=n!/(k!(n-k)!) : les $\frac{n !}{( n - k )!}$ n!/((n-k)!) arrangements de $k$ k éléments, divisés par les $k!$ k! ordres possibles de chaque choix.

Quel lien avec la loi binomiale ?

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ P(X=k)=binom nkp^(k)(1-p)^(n-k) : on retrouve les termes du développement de $(p + (1 - p))^{n} = 1$ (p+(1-p))ⁿ=1, ce qui prouve que les probabilités somment à 1.

Que vaut

\sum_{k} (- 1)^{k} (k n)

Σₖ(-1)^(k)binom nk ?

$(1 - 1)^{n} = 0$ (1-1)ⁿ=0 pour $n \geq 1$ n≥1 : il y a autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire $(a + b)^{n} = a^{n} + b^{n}$ (a+b)ⁿ=aⁿ+bⁿ.
Réciter la formule du binôme sans expliquer d'où viennent les coefficients.
Oublier de séparer les deux cas disjoints dans la démonstration de Pascal.

Revoir les notions

Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →

Autres questions : dénombrement

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

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