Question de mathsMathsDénombrement

Combien de chemins les plus courts relient deux coins d'une ville quadrillée ?

Q: Pourquoi choisir les N plutôt que les E ?

C'est équivalent : $binomm+nn=binomm+nm$, car choisir les positions des N revient à choisir celles des E.

Q: Combien de chemins passent par le carrefour (2 ; 1) pour aller en (4 ; 3) ?

$binom31×binom42=3×6=18$ : on compte les chemins jusqu'au carrefour, puis du carrefour à l'arrivée, et on multiplie.

Pour aller du coin (0 ; 0) au coin (m ; n) en avançant vers l'est ou le nord, un chemin est une suite de m + n pas dont on choisit les n pas « nord » : il y en a C(m + n, n), soit 184 756 dans une grille 10 × 10.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

À New York, les rues forment un quadrillage, et je me suis demandé combien d'itinéraires de même longueur on peut prendre pour aller d'un carrefour à un autre. J'ai d'abord essayé de les dessiner, puis j'ai découvert qu'un simple coefficient binomial donne la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un problème géométrique par un dénombrement : coder un chemin par un mot, puis compter les mots avec les combinaisons.

Mathématiques

Combinaisons $(k n)$ binom nk (terminale)
Bijection entre deux ensembles pour compter (terminale)
Relation de Pascal (terminale)
Raisonnement par récurrence (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un problème d'itinéraire
1,5 min
Dans un quadrillage, on part du coin $(0; 0)$ (0;0) pour aller au coin $(4; 3)$ (4;3), en n'avançant que vers l'est ou le nord : tous ces chemins ont la même longueur, 7 pas. Problématique : combien y en a-t-il, et comment les compter sans les dessiner ?
2. Coder un chemin par un mot
3,5 min
Chaque chemin se code par un mot de 7 lettres formé de 4 « E » et 3 « N », par exemple EENENEN. Réciproquement, chaque mot de ce type décrit un unique chemin : il y a une bijection entre chemins et mots.
Un mot est entièrement déterminé par les positions de ses 3 lettres « N » parmi les 7 : il y a $(3 7) = 35$ binom73=35 chemins. En général, de $(0; 0)$ (0;0) à $(m; n)$ (m;n) : $(n m + n)$ binomm+nn chemins.
3. Une seconde méthode et une vérification
3,5 min
On note $N (m, n)$ N(m,n) le nombre de chemins vers $(m; n)$ (m;n). Le dernier pas vient soit de $(m - 1; n)$ (m-1;n), soit de $(m; n - 1)$ (m;n-1) : $N (m, n) = N (m - 1, n) + N (m, n - 1)$ N(m,n)=N(m-1,n)+N(m,n-1). C'est la relation de Pascal, ce qui confirme $N (m, n) = (n m + n)$ N(m,n)=binomm+nn.
Dans la pratique, on écrit à chaque carrefour la somme des nombres des carrefours voisins à l'ouest et au sud : on retrouve le triangle de Pascal « couché » sur la grille. Pour une grille $10 \times 10$ 10×10, on obtient $(10 20) = 184756$ C(20, 10) =184 756 chemins.
4. Conclusion
1,5 min
Le nombre de plus courts chemins est $(n m + n)$ binomm+nn : il suffit de choisir les positions des pas vers le nord. Ce problème montre la puissance d'un bon codage, qui transforme un dessin en un dénombrement. J'ouvre sur les chemins qui ne doivent pas franchir la diagonale, comptés par les nombres de Catalan.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

chemin ⟷ mot de m + n lettres avec n lettres N chemin \leftrightarrow mot de m+n lettres avec n lettres N N (m, n) = (n m + n), N (4, 3) = (3 7) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 N(m,n)= C(m+n, n) , N(4,3)=binom73=7\times6\times5/3\times2\times1=35 N (m, n) = N (m - 1, n) + N (m, n - 1) N (10, 10) = (10 20) = 184756 N(m,n)=N(m-1,n)+N(m,n-1) N(10,10)= C(20, 10) =184 756

Conclusion : la réponse à la question

Coder un chemin par la liste de ses pas ramène le problème au choix des positions des pas vers le nord : $(n m + n)$ binomm+nn chemins. La relation de Pascal, lue sur la grille, fournit une vérification et une méthode de calcul pas à pas.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi choisir les N plutôt que les E ?

C'est équivalent : $(n m + n) = (m m + n)$ binomm+nn=binomm+nm, car choisir les positions des N revient à choisir celles des E.

Combien de chemins passent par le carrefour (2 ; 1) pour aller en (4 ; 3) ?

$(1 3) \times (2 4) = 3 \times 6 = 18$ binom31×binom42=3×6=18 : on compte les chemins jusqu'au carrefour, puis du carrefour à l'arrivée, et on multiplie.

Et si une rue est barrée ?

On soustrait les chemins qui l'empruntent, comptés par le même principe multiplicatif, ou on remplit la grille en mettant 0 sur le tronçon barré.

Qu'est-ce qu'une bijection, et pourquoi est-ce utile ?

Une correspondance qui associe à chaque élément d'un ensemble un unique élément de l'autre, et réciproquement. Deux ensembles en bijection ont le même nombre d'éléments : on compte celui qui est le plus simple.

Quel lien avec la loi binomiale ?

Un marcheur qui choisit au hasard est ou nord à chaque carrefour suit un chemin aléatoire : la probabilité d'arriver en $(m; n)$ (m;n) après $m + n$ m+n pas vaut $(n m + n) (\frac{1}{2})^{m + n}$ binomm+nn(1/2)^(m+n).

Les pièges qui coûtent des points

Confondre $(n m + n)$ C(m+n, n) et $(n m)$ C(m, n).
Oublier que les chemins ne reculent jamais : sinon ils ne sont plus les plus courts.
Dessiner tous les chemins au lieu d'expliquer le codage.

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