Comment calculer √2 avec autant de décimales qu'on veut ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je me suis demandé comment une calculatrice obtient $\sqrt{2}$sqrt2, qui n'est pas une fraction. En cherchant, j'ai découvert une méthode vieille de 2 000 ans, celle de Héron d'Alexandrie, qui ne demande que des additions et des divisions. J'ai voulu comprendre pourquoi elle est si rapide.

L'enjeu et les notions du programme

Approcher un nombre irrationnel par une suite définie par récurrence, démontrer la convergence et mesurer sa vitesse.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : l'idée géométrique

   1,5 min

   On cherche un carré d'aire 2. On part d'un rectangle d'aire 2 de côtés $u$u et $\frac{2}{u}$2/u. Pour le rendre « plus carré », on remplace $u$u par la moyenne des deux côtés. D'où la suite $u_0=1$u₀=1, $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$uₙ₊₁=1/2(uₙ+2/uₙ). Problématique : converge-t-elle vers $\sqrt{2}$sqrt2, et à quelle vitesse ?

2. 2. Convergence

   3,5 min

   On calcule $u_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{u_n^2-2\sqrt{2}{u}_n+2}{2u_n}=\frac{(u_n-\sqrt{2}{)}^2}{2u_n}$uₙ₊₁-sqrt2=(uₙ²-2sqrt2uₙ+2)/2uₙ=((uₙ-sqrt2)²)/2uₙ. Cette égalité dit tout : dès que $u_n>0$uₙ>0, $u_{n+1}\ge \sqrt{2}$uₙ₊₁≥sqrt2.

   À partir de $n=1$n=1, la suite est donc minorée par $\sqrt{2}$sqrt2. Elle est décroissante : $u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0$uₙ₊₁-uₙ=(2-uₙ²)/2uₙ≤0. Décroissante et minorée, elle converge, et sa limite $\ell >0$ℓ>0 vérifie $\ell =\frac{1}{2}\left(\ell +\frac{2}{\ell }\right)$ℓ=1/2(ℓ+frac2ℓ), soit ${\ell }^2=2$ℓ²=2, donc $\ell =\sqrt{2}$ℓ=sqrt2.

3. 3. Vitesse : les décimales doublent

   3,5 min

   Comme $u_n\ge 1$uₙ≥1, l'égalité donne $u_{n+1}-\sqrt{2}\le \frac{1}{2}(u_n-\sqrt{2}{)}^2$uₙ₊₁-sqrt2≤1/2(uₙ-sqrt2)² : l'erreur est (à peu près) élevée au carré à chaque étape. Si l'erreur vaut $10^{-3}$10⁻³, la suivante vaut moins de $10^{-6}$10⁻⁶.

   Les valeurs : $u_1=1,5$u₁=1,5, $u_2\approx 1,41667$u₂≈1,416 67, $u_3\approx 1,4142157$u₃≈1,414 215 7, $u_4\approx 1,41421356237$u₄≈1,414 213 562 37. La quatrième itération donne déjà 11 décimales exactes.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une suite simple permet de calculer $\sqrt{2}$sqrt2 avec la précision voulue, et la démonstration montre pourquoi elle est si efficace. J'ouvre sur la méthode de Newton, dont la méthode de Héron est un cas particulier appliqué à $f(x)=x^2-2$f(x)=x²-2, et qui est utilisée par les machines pour résoudre des équations.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Affirmer que la limite est $\sqrt{2}$sqrt2 sans avoir montré que la suite converge.
• Oublier que la suite n'est décroissante qu'à partir du rang 1.
• Confondre « l'erreur est divisée par 2 » (dichotomie) et « l'erreur est élevée au carré » (Héron).

Revoir les notions

• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →
• Algorithmique et Python (Terminale spé maths) →

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