Écrivez $0,121212…$ sous forme de fraction.

C'est $Σ_k≥112/100^(k)=12/100×1/(1-1/100)=12/99=4/33$.

Question de mathsMathsL'infini, les suites et les limites

0,999… est-il vraiment égal à 1 ?

Q: Quelle est la définition de la limite d'une suite ?

$(uₙ)$ tend vers $ℓ$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Ici, l'intervalle $]1-10^(-p),1+10^(-p)[$ contient $uₙ$ dès que $n>p$.

L'écriture 0,999… désigne la limite de la suite 0,9 ; 0,99 ; 0,999… ; cette limite est exactement 1, ce que confirment trois démonstrations indépendantes.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un jour, un professeur a affirmé que $0, 999 \dots = 1$ 0,999…=1 et toute la classe a protesté : il « manque toujours un petit quelque chose ». J'ai voulu comprendre qui avait raison. Cette question m'a obligé à me demander ce que signifie une écriture décimale illimitée, ce que je n'avais jamais fait.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre ce qu'est un nombre réel et ce que signifie une écriture infinie : une écriture décimale illimitée est la limite d'une suite.

Mathématiques

Limite d'une suite, unicité de la limite (terminale)
Suites géométriques et somme de termes (première)
Raisonnement par l'absurde (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un résultat qui dérange
1,5 min
Je raconte ma surprise, puis je pose la question de fond : que désigne exactement l'écriture $0, 999 \dots$ 0,999… ? Sans définition, on ne peut ni dire qu'elle vaut 1, ni qu'elle en est différente.
2. Définir l'écriture illimitée comme une limite
3 min
On pose $u_{n} = 0, n 99 \dots 9 = 1 - 1 0^{- n}$ uₙ=0, 99…9 ₙ=1-10⁻ⁿ. L'écriture $0, 999 \dots$ 0,999… désigne la limite de la suite $(u_{n})$ (uₙ), quand elle existe. Comme $1 0^{- n} \to 0$ 10⁻ⁿ→0, $u_{n} \to 1$ uₙ→1.
C'est aussi une somme géométrique : $\sum_{k = 1}^{n} \frac{9}{1 0 ^{k}} = \frac{9}{10} \times \frac{1 - 1 0 ^{- n}}{1 - \frac{1}{10}} = 1 - 1 0^{- n}$ Σ_k=1ⁿ9/10^(k)=9/10×(1-10⁻ⁿ)/(1-1/10)=1-10⁻ⁿ. La limite étant unique, $0, 999 \dots = 1$ 0,999…=1.
3. Deux autres démonstrations et l'argument par l'absurde
3,5 min
Par les fractions : $\frac{1}{3} = 0, 333 \dots$ 1/3=0,333…, donc $3 \times \frac{1}{3} = 0, 999 \dots$ 3×1/3=0,999…, et $3 \times \frac{1}{3} = 1$ 3×1/3=1.
Par l'absurde : si $x = 0, 999 \dots$ x=0,999… était strictement inférieur à 1, l'écart $e = 1 - x$ e=1-x serait strictement positif. Or pour tout $n$ n, $u_{n} \leq x$ uₙ≤ x, donc $e \leq 1 - u_{n} = 1 0^{- n}$ e≤1-uₙ=10⁻ⁿ. Un nombre positif plus petit que $1 0^{- n}$ 10⁻ⁿ pour tout $n$ n est nul : contradiction.
Ce dernier argument utilise une propriété clé des réels : il n'existe pas de nombre strictement positif « infiniment petit ».
4. Conclusion
2 min
$0, 999 \dots$ 0,999… et $1$ 1 sont deux écritures du même nombre, comme $\frac{1}{2}$ 1/2 et $\frac{2}{4}$ 2/4. La gêne vient de l'idée que l'écriture « n'est jamais finie » : elle confond la suite $(u_{n})$ (uₙ), dont aucun terme n'égale 1, et sa limite, qui vaut exactement 1. J'ouvre sur l'unicité de l'écriture décimale : tout décimal non nul a deux écritures, l'une finie, l'autre terminant par des 9.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u_{n} = 0, n chiffres 9 \dots 9 = k = 1 \sum n \frac{9}{1 0 ^{k}} = 1 - \frac{1}{1 0 ^{n}} n \to + \infty 1 uₙ=0, 9\dots9 _n chiffres=Σ_k=1ⁿ9/10^(k)=1-1/10ⁿ \to 1 Si e = 1 - 0, 999 \dots > 0 : 0 < e \leq \frac{1}{1 0 ^{n}} pour tout n \Rightarrow e = 0, contradiction . Si e=1-0,999\dots>0 : 0<e\leq1/10ⁿ pour tout n \Rightarrow e=0, contradiction .

Conclusion : la réponse à la question

Oui, $0, 999 \dots = 1$ 0,999…=1. Ce n'est pas une approximation : c'est une égalité, qui découle de la définition d'une écriture illimitée comme limite. La question montre qu'en mathématiques, l'intuition doit toujours être confrontée à des définitions précises.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Écrivez

0, 121212 \dots

0,121212… sous forme de fraction.

C'est $\sum_{k \geq 1} \frac{12}{10 0 ^{k}} = \frac{12}{100} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$ Σ_k≥112/100^(k)=12/100×1/(1-1/100)=12/99=4/33.

Quelle est la définition de la limite d'une suite ?

$(u_{n})$ (uₙ) tend vers $ℓ$ ℓ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ ℓ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Ici, l'intervalle $] 1 - 1 0^{- p}, 1 + 1 0^{- p} [$ ]1-10^(-p),1+10^(-p)[ contient $u_{n}$ uₙ dès que $n > p$ n>p.

Pourquoi la limite est-elle unique ?

Si une suite avait deux limites distinctes, on pourrait choisir deux intervalles disjoints autour de chacune ; à partir d'un certain rang, tous les termes seraient dans les deux à la fois, ce qui est impossible.

Y a-t-il un nombre entre 0,999… et 1 ?

Non : si deux réels sont distincts, leur moyenne est strictement entre eux. Comme aucun nombre n'est strictement entre 0,999… et 1, ils sont égaux. C'est une reformulation de l'argument par l'absurde.

Et en informatique, 0,999… vaut-il 1 ?

Un ordinateur ne stocke qu'un nombre fini de chiffres, en binaire : il manipule des valeurs approchées. C'est une limite pratique, pas mathématique ; d'où le conseil de ne jamais tester l'égalité de deux flottants.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que 0,999… est « infiniment proche » de 1 sans être égal : en réalité, il n'existe pas d'écart infiniment petit non nul.
Confondre un terme de la suite (toujours inférieur à 1) et sa limite.
S'appuyer uniquement sur l'argument 3 × 0,333… sans justifier que 0,333… = 1/3.

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Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

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