Pourquoi $ln(1+x)≤ x$ pour $x≥0$ ?

La fonction $g(x)=x-ln(1+x)$ a pour dérivée $1-1/(1+x)=x/(1+x)≥0$ sur $[0,+∞[$, donc elle est croissante, et $g(0)=0$, donc $g(x)≥0$. On peut aussi dire que $ln(1+x)$ est concave, donc sous sa tangente en 0, qui est la droite $y=x$.

La somme $1+1/4+1/9+…+1/n²$ est-elle bornée ?

Oui. Pour $k≥2$, $1/k²≤1/(k(k-1))=1/(k-1)-1/k$, donc la somme est majorée par $1+1-1/n<2$. Croissante et majorée, elle converge (sa limite est $π²/6$, résultat d'Euler hors programme).

Question de mathsMathsL'infini, les suites et les limites

Peut-on additionner une infinité de nombres et obtenir un résultat fini ?

Q: Que vaut $0,999…$ ?

C'est la somme $Σ_k≥19/10^(k)=9/10×1/(1-1/10)=1$. Le nombre $0,999…$ est donc exactement égal à 1 : ce sont deux écritures du même réel.

Q: Que se passe-t-il pour $q=-1$ ?

Les sommes partielles valent alternativement 1 et 0 : elles n'ont pas de limite. La somme $1-1+1-1+…$ n'a donc pas de valeur, ce qui montre que l'on ne peut pas regrouper les termes n'importe comment.

Q: Comment trouver le nombre de termes nécessaires pour dépasser 10 ?

Par un algorithme de seuil en Python : une boucle while qui ajoute $1/n$ tant que la somme est inférieure ou égale à 10. On obtient 12 367. L'encadrement $ln(n+1)≤ Hₙ≤1+ln n$ donne l'ordre de grandeur $n≈ e⁹≈8 000$ à $e¹⁰≈22 000$.

Une somme infinie a un sens grâce à la limite de ses sommes partielles : 1 + 1/2 + 1/4 + … vaut 2, alors que 1 + 1/2 + 1/3 + … dépasse tout nombre, même si ses termes tendent vers 0.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En première, j'ai calculé $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ 1+1/2+1/4+1/8+… à la calculatrice : la somme se rapprochait de 2 sans jamais le dépasser. Cela m'a paru paradoxal, puisqu'on ajoute une infinité de nombres strictement positifs. C'est en terminale, avec la notion de limite d'une suite, que j'ai compris comment donner un sens précis à cette « somme infinie », et que j'ai découvert qu'elle ne converge pas toujours.

L'enjeu et les notions du programme

Le passage du fini à l'infini, au cœur de l'analyse : la limite d'une suite permet de définir proprement une somme d'une infinité de termes et de décider si elle est finie.

Mathématiques

Suites géométriques, somme $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ 1+q+…+qⁿ=(1-qⁿ⁺¹)/(1-q) (première)
Limite d'une suite, limite de $q^{n}$ qⁿ pour $- 1 < q < 1$ -1<q<1 (terminale)
Théorèmes de comparaison : une suite minorée par une suite qui tend vers +∞ tend vers +∞ (terminale)
Logarithme népérien et inégalité $ln (1 + x) \leq x$ ln(1+x)≤ x (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : ce que veut dire « additionner une infinité de nombres »
1,5 min
J'explique pourquoi j'ai choisi la question, puis je pose le problème : on ne peut pas faire une infinité d'additions. On remplace donc la somme infinie par la suite de ses sommes partielles $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ Sₙ=u₀+u₁+…+uₙ, qui sont de vraies sommes finies.
La somme infinie « vaut » $ℓ$ ℓ si et seulement si la suite $(S_{n})$ (Sₙ) converge vers $ℓ$ ℓ. Ma problématique devient : à quelle condition cette suite a-t-elle une limite finie ?
2. Une somme infinie qui converge : la somme géométrique
3,5 min
Avec $u_{k} = (\frac{1}{2})^{k}$ uₖ=(1/2)^(k), la formule de la somme des termes d'une suite géométrique donne $S_{n} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}$ Sₙ=2-1/2ⁿ. Comme $(\frac{1}{2})^{n} \to 0$ (1/2)ⁿ→0, on obtient $S_{n} \to 2$ Sₙ→2 : la somme infinie vaut exactement 2.
Je l'illustre au tableau par un carré d'aire 2 qu'on remplit en ajoutant à chaque étape la moitié de ce qui reste : on ne dépasse jamais l'aire totale.
Plus généralement, pour $- 1 < q < 1$ -1<q<1, $\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} \to \frac{1}{1 - q}$ Σ_k=0ⁿq^(k)=(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)→1/(1-q). La condition $∣ q ∣ < 1$ |q|<1 est essentielle : pour $q = 1$ q=1, $S_{n} = n + 1$ Sₙ=n+1 tend vers $+ \infty$ +∞.
3. Des termes qui tendent vers 0 ne suffisent pas : la somme harmonique
3,5 min
Pour $H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ Hₙ=1+1/2+…+1/n, les termes tendent vers 0, et pourtant $H_{n} \to + \infty$ Hₙ→+∞. L'outil est l'inégalité $ln (1 + x) \leq x$ ln(1+x)≤ x pour $x \geq 0$ x≥0, que l'on démontre en étudiant $x \mapsto x - ln (1 + x)$ x↦ x-ln(1+x), de dérivée $\frac{x}{1 + x} \geq 0$ x/(1+x)≥0.
Avec $x = \frac{1}{k}$ x=1/k : $\frac{1}{k} \geq ln (k + 1) - ln k$ 1/k≥ln(k+1)-ln k. En additionnant, les logarithmes se télescopent et $H_{n} \geq ln (n + 1)$ Hₙ≥ln(n+1), qui tend vers $+ \infty$ +∞. Par comparaison, $H_{n} \to + \infty$ Hₙ→+∞.
La divergence est très lente : il faut 12 367 termes pour dépasser 10. C'est pourquoi la calculatrice ne la « voit » pas.
4. Conclusion
1,5 min
Oui, une infinité de nombres peut avoir une somme finie, mais à condition que les sommes partielles convergent. Que les termes tendent vers 0 est nécessaire, mais ne suffit pas : tout dépend de la vitesse à laquelle ils diminuent. J'ouvre sur l'écriture décimale illimitée, qui est elle-même une somme infinie : $0, 333 \dots = \sum_{k \geq 1} \frac{3}{1 0 ^{k}} = \frac{1}{3}$ 0,333…=Σ_k≥13/10^(k)=1/3.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

S_{n} = k = 0 \sum n (\frac{1}{2})^{k} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}} n \to + \infty 2 Sₙ=Σ_k=0ⁿ(1/2)^(k)=(1-(1/2)ⁿ⁺¹)/(1-1/2)=2-1/2ⁿ \to 2 H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} \geq k = 1 \sum n (ln (k + 1) - ln k) = ln (n + 1) n \to + \infty + \infty Hₙ=Σ_k=1ⁿ1/k \geq Σ_k=1ⁿbigl(ln(k+1)-ln kbigr)=ln(n+1) \to +\infty

Conclusion : la réponse à la question

Une somme infinie n'est pas une addition, c'est une limite. Elle est finie quand les termes décroissent assez vite (géométriquement, par exemple), et elle peut être infinie même si les termes tendent vers 0 (somme harmonique). La question m'a appris à me méfier de l'intuition et à toujours revenir à la définition.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que vaut

0, 999 \dots

0,999… ?

C'est la somme $\sum_{k \geq 1} \frac{9}{1 0 ^{k}} = \frac{9}{10} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = 1$ Σ_k≥19/10^(k)=9/10×1/(1-1/10)=1. Le nombre $0, 999 \dots$ 0,999… est donc exactement égal à 1 : ce sont deux écritures du même réel.

Pourquoi

ln (1 + x) \leq x

ln(1+x)≤ x pour

x \geq 0

x≥0 ?

La fonction $g (x) = x - ln (1 + x)$ g(x)=x-ln(1+x) a pour dérivée $1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} \geq 0$ 1-1/(1+x)=x/(1+x)≥0 sur $[0, + \infty [$ [0,+∞[, donc elle est croissante, et $g (0) = 0$ g(0)=0, donc $g (x) \geq 0$ g(x)≥0. On peut aussi dire que $ln (1 + x)$ ln(1+x) est concave, donc sous sa tangente en 0, qui est la droite $y = x$ y=x.

La somme

1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}

1+1/4+1/9+…+1/n² est-elle bornée ?

Oui. Pour $k \geq 2$ k≥2, $\frac{1}{k ^{2}} \leq \frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ 1/k²≤1/(k(k-1))=1/(k-1)-1/k, donc la somme est majorée par $1 + 1 - \frac{1}{n} < 2$ 1+1-1/n<2. Croissante et majorée, elle converge (sa limite est $\frac{π ^{2}}{6}$ π²/6, résultat d'Euler hors programme).

Que se passe-t-il pour

q = - 1

q=-1 ?

Les sommes partielles valent alternativement 1 et 0 : elles n'ont pas de limite. La somme $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ 1-1+1-1+… n'a donc pas de valeur, ce qui montre que l'on ne peut pas regrouper les termes n'importe comment.

Comment trouver le nombre de termes nécessaires pour dépasser 10 ?

Par un algorithme de seuil en Python : une boucle while qui ajoute $\frac{1}{n}$ 1/n tant que la somme est inférieure ou égale à 10. On obtient 12 367. L'encadrement $ln (n + 1) \leq H_{n} \leq 1 + ln n$ ln(n+1)≤ Hₙ≤1+ln n donne l'ordre de grandeur $n \approx e^{9} \approx 8000$ n≈ e⁹≈8 000 à $e^{10} \approx 22000$ e¹⁰≈22 000.

Les pièges qui coûtent des points

Affirmer que la somme est finie « parce qu'on ajoute des nombres de plus en plus petits » : la somme harmonique est le contre-exemple à connaître.
Confondre la limite des termes $u_{n}$ uₙ et la limite des sommes partielles $S_{n}$ Sₙ.
Écrire $q^{n} \to 0$ qⁿ→0 sans préciser la condition $- 1 < q < 1$ -1<q<1.

Revoir les notions

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