Une suite qui augmente toujours finit-elle forcément par dépasser tous les nombres ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand j'ai étudié la suite $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$uₙ₊₁=√(2+uₙ), mon intuition me disait qu'une suite qui grandit à chaque étape finit par devenir énorme. Le tableur montrait le contraire : les termes s'accumulaient près de 2. J'ai voulu comprendre ce qui permet d'être sûr qu'une suite a une limite sans connaître sa formule.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer qu'une suite converge sans calculer explicitement ses termes : récurrence, théorème de convergence monotone et recherche de la limite par un point fixe.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : deux comportements possibles

   1,5 min

   Je présente deux suites croissantes : $v_n=n^2$vₙ=n², qui dépasse tout nombre, et $w_n=1-\frac{1}{n+1}$wₙ=1-1/(n+1), qui reste sous 1. Une suite croissante peut donc tendre vers $+\infty$+∞ ou vers un nombre. Problématique : comment savoir lequel des deux cas se produit, en particulier quand on n'a pas de formule explicite ?

2. 2. Le théorème qui tranche

   3 min

   Théorème de convergence monotone : une suite croissante et majorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$+∞.

   La dichotomie est complète : pour une suite croissante, il suffit de savoir si elle est majorée. J'explique l'idée de la seconde partie : si $(u_n)$(uₙ) n'est pas majorée, pour tout $A$A il existe un rang $N$N avec $u_N>A$u_N>A, et la croissance donne $u_n>A$uₙ>A pour tout $n\ge N$n≥ N, ce qui est la définition de $u_n\to +\infty$uₙ→+∞.

3. 3. Un exemple traité jusqu'au bout

   4 min

   Soit $u_0=0$u₀=0 et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$uₙ₊₁=√(2+uₙ). On démontre par récurrence que $0\le u_n\le u_{n+1}\le 2$0≤ uₙ≤ uₙ₊₁≤2 pour tout $n$n.

   Initialisation : $u_0=0$u₀=0, $u_1=\sqrt{2}\approx 1,41$u₁=sqrt2≈1,41. Hérédité : la fonction $f(x)=\sqrt{2+x}$f(x)=√(2+x) est croissante, donc de $0\le u_n\le u_{n+1}\le 2$0≤ uₙ≤ uₙ₊₁≤2 on déduit $f(0)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(2)$f(0)≤ f(uₙ)≤ f(uₙ₊₁)≤ f(2), c'est-à-dire $\sqrt{2}\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 2$sqrt2≤ uₙ₊₁≤ uₙ₊₂≤2.

   La suite est croissante et majorée par 2 : elle converge vers un réel $\ell$ℓ. Comme $f$f est continue, $\ell =\sqrt{2+\ell }$ℓ=√(2+ℓ), d'où ${\ell }^2-\ell -2=0$ℓ²-ℓ-2=0, soit $(\ell -2)(\ell +1)=0$(ℓ-2)(ℓ+1)=0. Comme $\ell \ge 0$ℓ≥0, $\ell =2$ℓ=2.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une suite croissante ne dépasse pas forcément tous les nombres : tout dépend de l'existence d'un majorant. Le théorème de convergence monotone permet d'affirmer qu'une limite existe avant même de la connaître ; on la trouve ensuite comme point fixe. J'ouvre sur les méthodes numériques, qui reposent sur des suites de ce type.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Annoncer la limite 2 en résolvant ℓ = f(ℓ) sans avoir prouvé que la limite existe.
• Oublier l'hypothèse « croissante » ou « majorée » dans l'énoncé du théorème.
• Croire que le majorant trouvé est forcément la limite.

Revoir les notions

• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

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