Question de mathsMathsL'infini, les suites et les limites

Achille peut-il rattraper la tortue ? Le paradoxe de Zénon à la lumière des suites

Q: Où se trouve Achille quand il rattrape la tortue ?

À $1000/9≈111,1$ m de son point de départ : c'est la somme $Σ100×(1/10)^(k)=100/(1-1/10)$.

Q: Et si Achille courait seulement deux fois plus vite que la tortue ?

La raison devient $1/2$. Avec une vitesse de tortue $v$ et une avance $d$, le temps vaut $d/(2v-v)=d/v$ ; la somme géométrique $d/2vΣ(1/2)^(k)=d/v$ donne le même résultat.

Q: Le résultat dépend-il des valeurs choisies ?

Non, tant qu'Achille est plus rapide. Si $V>v$, la raison $v/V$ est dans $]0,1[$ et le temps total vaut $d/(V-v)$. Si $V=v$, la raison vaut 1 et Achille ne rattrape jamais la tortue, ce qui est cohérent.

Le raisonnement de Zénon découpe la course en une infinité d'étapes ; les suites géométriques montrent que ces étapes durent un temps total fini : Achille rattrape la tortue après 100/9 secondes.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai découvert le paradoxe d'Achille et de la tortue en philosophie : Achille, plus rapide, ne rattraperait jamais la tortue, car il doit d'abord atteindre l'endroit où elle était, pendant qu'elle avance encore. Le raisonnement semblait correct et la conclusion absurde. J'ai voulu savoir où était la faille, et c'est le cours sur les suites qui m'a donné la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un processus infini par une suite et montrer qu'une infinité d'étapes peut tenir dans un temps fini : c'est exactement la notion de limite.

Mathématiques

Suites géométriques, somme des termes (première)
Limite de $q^{n}$ qⁿ pour $0 < q < 1$ 0<q<1 (terminale)
Modélisation d'une situation par une suite (première et terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : l'argument de Zénon
1,5 min
Je présente la situation : Achille court à 10 m/s, la tortue à 1 m/s, avec 100 m d'avance. Zénon découpe la course : Achille met 10 s pour atteindre le point de départ de la tortue, qui a avancé de 10 m ; puis 1 s pour couvrir ces 10 m, pendant que la tortue avance de 1 m ; et ainsi de suite, sans fin. Problématique : une infinité d'étapes impose-t-elle une durée infinie ?
2. Mettre les étapes en suite
3 min
La durée de l'étape $n$ n est $t_{n} = 10 \times (\frac{1}{10})^{n}$ tₙ=10×(1/10)ⁿ secondes : c'est une suite géométrique de raison $\frac{1}{10}$ 1/10. La distance parcourue par Achille pendant cette étape est $d_{n} = 100 \times (\frac{1}{10})^{n}$ dₙ=100×(1/10)ⁿ mètres.
Après $n + 1$ n+1 étapes, le temps écoulé est $T_{n} = 10 \frac{1 - ( 1/10 ) ^{n + 1}}{1 - 1/10}$ Tₙ=10 (1-(1/10)ⁿ⁺¹)/(1-1/10). Chaque $T_{n}$ Tₙ est fini et la suite $(T_{n})$ (Tₙ) est croissante : c'est le cœur de l'intuition de Zénon.
3. La limite résout le paradoxe
3,5 min
Comme $(\frac{1}{10})^{n + 1} \to 0$ (1/10)ⁿ⁺¹→0, on obtient $T_{n} \to \frac{10}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{100}{9} \approx 11, 1$ Tₙ→10/(1-1/10)=100/9≈11,1 s. Toutes les étapes de Zénon tiennent dans les 11,1 premières secondes : elles ne recouvrent pas toute la course.
On vérifie avec la physique du mouvement uniforme : les positions sont $x_{A} = 10 t$ x_A=10t et $x_{T} = 100 + t$ x_T=100+t, égales pour $9 t = 100$ 9t=100, soit $t = \frac{100}{9}$ t=100/9 s, à $\frac{1000}{9} \approx 111, 1$ 1000/9≈111,1 m. Les deux méthodes concordent.
La faille de Zénon est donc de croire qu'une somme d'une infinité de durées positives est forcément infinie.
4. Conclusion
2 min
Achille rattrape bien la tortue. Le paradoxe montre la puissance de la notion de limite, que les Grecs n'avaient pas : il a fallu attendre le XVIIᵉ et surtout le XIXᵉ siècle (Cauchy, Weierstrass) pour la formaliser. J'ouvre sur la limite de l'argument : si les durées des étapes décroissaient comme $\frac{1}{n}$ 1/n, la somme serait infinie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

T_{n} = k = 0 \sum n 10 \times (\frac{1}{10})^{k} = 10 \times \frac{1 - ( \frac{1}{10} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{10}} n \to + \infty \frac{100}{9} s Tₙ=Σ_k=0ⁿ10\times(1/10)^(k)=10\times(1-(1/10)ⁿ⁺¹)/(1-1/10) \to 100/9 s x_{A} (t) = 10 t, x_{T} (t) = 100 + t, x_{A} = x_{T} ⟺ t = \frac{100}{9} x_A(t)=10t, x_T(t)=100+t, x_A=x_T\Leftrightarrow t=100/9

Conclusion : la réponse à la question

Une infinité d'étapes peut durer un temps fini : la somme des durées est une somme géométrique de raison $\frac{1}{10}$ 1/10, qui converge vers $\frac{100}{9}$ 100/9 s. Le paradoxe vient d'une confusion entre « infiniment d'étapes » et « temps infini ».

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Où se trouve Achille quand il rattrape la tortue ?

À $\frac{1000}{9} \approx 111, 1$ 1000/9≈111,1 m de son point de départ : c'est la somme $\sum 100 \times (\frac{1}{10})^{k} = \frac{100}{1 - \frac{1}{10}}$ Σ100×(1/10)^(k)=100/(1-1/10).

Et si Achille courait seulement deux fois plus vite que la tortue ?

La raison devient $\frac{1}{2}$ 1/2. Avec une vitesse de tortue $v$ v et une avance $d$ d, le temps vaut $\frac{d}{2 v - v} = \frac{d}{v}$ d/(2v-v)=d/v ; la somme géométrique $\frac{d}{2 v} \sum (\frac{1}{2})^{k} = \frac{d}{v}$ d/2vΣ(1/2)^(k)=d/v donne le même résultat.

Le résultat dépend-il des valeurs choisies ?

Non, tant qu'Achille est plus rapide. Si $V > v$ V>v, la raison $\frac{v}{V}$ v/V est dans $] 0, 1 [$ ]0,1[ et le temps total vaut $\frac{d}{V - v}$ d/(V-v). Si $V = v$ V=v, la raison vaut 1 et Achille ne rattrape jamais la tortue, ce qui est cohérent.

Qu'est-ce qui manquait aux Grecs pour répondre ?

Une définition rigoureuse de la limite. Archimède savait additionner certaines sommes géométriques, mais la notion générale de convergence, avec ses quantificateurs, n'apparaît qu'au XIXᵉ siècle.

Peut-on écrire un programme qui simule les étapes ?

Oui : une boucle qui ajoute à chaque tour la durée de l'étape et divise cette durée par 10. Après une dizaine de tours, le temps cumulé affiche 11,111… s, ce qui illustre la convergence.

Les pièges qui coûtent des points

Présenter le paradoxe sans dire précisément où est l'erreur de raisonnement.
Oublier de vérifier le résultat par un calcul direct (positions en fonction du temps).
Confondre la suite des durées $(t_{n})$ (tₙ), qui tend vers 0, et la suite des temps cumulés $(T_{n})$ (Tₙ), qui tend vers $\frac{100}{9}$ 100/9.

Revoir les notions

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