Pourquoi $binom105$ est-il le plus grand coefficient ?

Le rapport $fracbinom nk+1binom nk=(n-k)/(k+1)$ est supérieur à 1 tant que $k<(n-1)/2$ : les coefficients croissent jusqu'au milieu, puis décroissent par symétrie.

Question de mathsMathsDénombrement

Pourquoi un ensemble de n éléments possède-t-il 2ⁿ sous-ensembles ?

Q: Rédigez l'hérédité de la récurrence en une phrase.

Si un ensemble à n éléments a 2ⁿ parties, alors un ensemble à n + 1 éléments en a 2ⁿ sans le nouvel élément et 2ⁿ avec, soit 2ⁿ⁺¹.

Q: Combien de pizzas ont au moins une garniture ?

$2¹⁰-1=1 023$ : on retire la partie vide.

Q: Quel lien avec le binaire en informatique ?

Un octet (8 bits) code 2⁸ = 256 valeurs : c'est le nombre de parties d'un ensemble à 8 éléments, chaque bit indiquant si un élément est présent.

Q: Une pizzeria propose 10 garnitures et limite à 3 garnitures au plus. Combien de pizzas ?

$binom100+binom101+binom102+binom103=1+10+45+120=176$. La contrainte réduit fortement le nombre de choix, car les grandes parties sont les plus nombreuses au milieu du triangle.

Trois démonstrations d'un même résultat : coder chaque partie par une suite de n choix oui/non, raisonner par récurrence, ou additionner les C(n, k) avec le binôme. Avec 10 garnitures, on peut composer 1 024 pizzas.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Une pizzeria annonçait « plus de 1 000 combinaisons possibles » avec seulement dix garnitures. Je n'y croyais pas. Le calcul m'a donné exactement 1 024, une puissance de 2, et j'ai découvert qu'un même résultat se démontre de trois façons différentes, ce qui m'a fasciné.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer un même résultat par trois méthodes (bijection, récurrence, calcul algébrique) et comprendre ce que chacune apporte.

Mathématiques

Parties d'un ensemble, p-uplets (terminale)
Raisonnement par récurrence (terminale)
Combinaisons et formule du binôme (terminale)
Principe multiplicatif (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : les pizzas
1,5 min
Avec 10 garnitures, chaque pizza correspond à un sous-ensemble des garnitures (la pizza nature comprise). Problématique : pourquoi y en a-t-il $2^{10} = 1024$ 2¹⁰=1 024, et plus généralement $2^{n}$ 2ⁿ ?
2. Première démonstration : coder par des choix
2,5 min
Pour chaque garniture, on décide « oui » ou « non ». Une partie correspond exactement à une suite de $n$ n réponses : c'est un $n$ n-uplet de ${0; 1}$ {0;1}. Par le principe multiplicatif, il y en a $2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^{n}$ 2×2×…×2=2ⁿ.
C'est aussi l'écriture binaire : les parties de ${1, \dots, n}$ {1,…,n} correspondent aux nombres de 0 à $2^{n} - 1$ 2ⁿ-1.
3. Deuxième et troisième démonstrations
4,5 min
Par récurrence : un ensemble vide a une partie (lui-même), $2^{0} = 1$ 2⁰=1. Si un ensemble à $n$ n éléments a $2^{n}$ 2ⁿ parties, on ajoute un élément $x$ x : chaque partie de l'ensemble agrandi contient $x$ x ou non. Celles qui ne le contiennent pas sont les $2^{n}$ 2ⁿ anciennes ; celles qui le contiennent s'obtiennent en ajoutant $x$ x à une ancienne, encore $2^{n}$ 2ⁿ. Total $2^{n + 1}$ 2ⁿ⁺¹.
Par le binôme : le nombre de parties à $k$ k éléments est $(k n)$ binom nk, donc le total vaut $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = (1 + 1)^{n} = 2^{n}$ Σ_k=0ⁿbinom nk=(1+1)ⁿ=2ⁿ. Pour 10 garnitures : $1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024$ 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=1 024.
4. Conclusion
1,5 min
Un ensemble à $n$ n éléments a $2^{n}$ 2ⁿ parties, ce que trois démonstrations confirment : un codage binaire, une récurrence et le binôme. Chacune éclaire un aspect différent : la structure des choix, la construction pas à pas, et la répartition selon la taille. J'ouvre sur la croissance de $2^{n}$ 2ⁿ : avec 30 garnitures, plus d'un milliard de pizzas.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

partie ↔ (ε₁,…,εₙ)∈{0;1}ⁿ ⇒ 2ⁿ partiesΣ_k=0ⁿ C(n, k) =(1+1)ⁿ=2ⁿn=10 : 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=1 024

Conclusion : la réponse à la question

Il y a $2^{n}$ 2ⁿ parties parce que chaque élément est indépendamment « dedans » ou « dehors ». Démontrer ce résultat de trois manières montre la cohérence des outils du dénombrement, et la force d'un résultat qui s'interprète de plusieurs façons.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de pizzas ont exactement 3 garnitures ?

$(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$ binom103=10×9×8/6=120.

Rédigez l'hérédité de la récurrence en une phrase.

Si un ensemble à n éléments a 2ⁿ parties, alors un ensemble à n + 1 éléments en a 2ⁿ sans le nouvel élément et 2ⁿ avec, soit 2ⁿ⁺¹.

Combien de pizzas ont au moins une garniture ?

$2^{10} - 1 = 1023$ 2¹⁰-1=1 023 : on retire la partie vide.

Pourquoi

(5 10)

binom105 est-il le plus grand coefficient ?

Le rapport $\frac{( k + 1 n )}{( k n )} = \frac{n - k}{k + 1}$ fracbinom nk+1binom nk=(n-k)/(k+1) est supérieur à 1 tant que $k < \frac{n - 1}{2}$ k<(n-1)/2 : les coefficients croissent jusqu'au milieu, puis décroissent par symétrie.

Quel lien avec le binaire en informatique ?

Un octet (8 bits) code 2⁸ = 256 valeurs : c'est le nombre de parties d'un ensemble à 8 éléments, chaque bit indiquant si un élément est présent.

Une pizzeria propose 10 garnitures et limite à 3 garnitures au plus. Combien de pizzas ?

$(0 10) + (1 10) + (2 10) + (3 10) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176$ binom100+binom101+binom102+binom103=1+10+45+120=176. La contrainte réduit fortement le nombre de choix, car les grandes parties sont les plus nombreuses au milieu du triangle.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la partie vide ou l'ensemble entier.
Confondre $2^{n}$ 2ⁿ (parties) et $n!$ n! (ordres).
Faire une récurrence sans initialisation.

Revoir les notions

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