Justifiez $(1-p)ⁿ≈ e^(-np)$.

$(1-p)ⁿ=e^(nln(1-p))$ et $ln(1-p)≈-p$ pour $p$ petit (tangente en 0), d'où $e^(-np)$.

Question de mathsMathsHasard et probabilités

Les coïncidences extraordinaires sont-elles vraiment improbables ?

Q: Combien de jours pour qu'un tel événement m'arrive avec une chance sur deux ?

Il faut $e^(-pn)≤1/2$, soit $n≥ln2/p≈693 000$ jours, environ 1 900 ans.

Q: Quelle est la variance de X ?

$V(X)=np(1-p)≈68$ : l'écart type vaut environ 8, donc le nombre quotidien de coïncidences varie typiquement entre 52 et 84.

Un événement d'une chance sur un million par personne et par jour arrive en moyenne 68 fois par jour en France : avec un grand nombre d'essais indépendants, l'improbable devient presque certain, comme le montre 1 − (1 − p)ⁿ.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un jour, j'ai croisé un ami d'enfance dans une ville où aucun de nous deux n'habitait. Tout le monde parlait d'un « signe du destin ». Je me suis demandé si les mathématiques pouvaient expliquer pourquoi ces coïncidences arrivent si souvent, et j'ai trouvé la réponse dans le calcul de la probabilité d'au moins un succès.

L'enjeu et les notions du programme

Quantifier la probabilité qu'un événement rare se produise au moins une fois parmi un grand nombre d'essais, et distinguer « rare pour une personne » et « rare dans une population ».

Mathématiques

Répétition d'épreuves indépendantes, loi binomiale (terminale)
Espérance $n p$ np d'une loi binomiale (terminale)
Approximation $(1 - p)^{n} \approx e^{- n p}$ (1-p)ⁿ≈ e^(-np) via $ln (1 - p) \approx - p$ ln(1-p)≈-p (terminale)
Événement contraire (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : rare pour qui ?
1,5 min
Je raconte la coïncidence, puis je distingue deux questions : la probabilité que cela m'arrive à moi aujourd'hui, et la probabilité que cela arrive à quelqu'un, quelque part. Problématique : que devient un événement très rare quand on multiplie les occasions ?
2. Un modèle simple
3,5 min
On suppose qu'un événement surprenant a une probabilité $p = 1 0^{- 6}$ p=10⁻⁶ d'arriver à une personne donnée un jour donné, indépendamment des autres. En France, environ $n = 68$ n=68 millions de personnes.
Le nombre $X$ X de personnes concernées un jour donné suit la loi binomiale $B (n, p)$ mathcal B(n,p), d'espérance $n p = 68$ np=68. Une coïncidence « à une chance sur un million » arrive donc en moyenne 68 fois par jour dans le pays.
3. Probabilité d'au moins une occurrence
3,5 min
$P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ P(X≥1)=1-(1-p)ⁿ. Avec $ln (1 - p) \approx - p$ ln(1-p)≈-p, on obtient $(1 - p)^{n} \approx e^{- n p}$ (1-p)ⁿ≈ e^(-np). Pour une personne pendant un an ( $n = 365$ n=365) : $1 - e^{- 0, 000365} \approx 0, 04 %$ 1-e^(-0,000365)≈0,04 %, très faible. Pour tout le pays en un jour : $1 - e^{- 68}$ 1-e⁻⁶⁸, indiscernable de 1.
C'est la « loi des très grands nombres » : avec assez d'occasions, l'improbable devient certain. Et comme on ne remarque que les coïncidences qui se produisent, on oublie toutes les occasions où rien ne se passe.
4. Conclusion
1,5 min
Les coïncidences extraordinaires sont improbables pour une personne précise, mais presque certaines à l'échelle d'une population. La formule $1 - (1 - p)^{n}$ 1-(1-p)ⁿ et l'espérance $n p$ np suffisent à le montrer. J'ouvre sur le biais de sélection : on ne raconte que les coïncidences réussies, jamais les rendez-vous manqués.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

X \sim B (n, p), E (X) = n p = 68 \times 1 0^{6} \times 1 0^{- 6} = 68 X~mathcal B(n,p), E(X)=np=68\times10⁶\times10⁻⁶=68 P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n} \approx 1 - e^{- n p} (ln (1 - p) \approx - p) P(X\geq1)=1-(1-p)ⁿ\approx1-e^(-np) (ln(1-p)\approx-p) n = 365 : 1 - e^{- 0, 000365} \approx 0, 00036 n = 68 \times 1 0^{6} : 1 - e^{- 68} \approx 1 n=365 : 1-e^(-0,000365)\approx0,00036 n=68\times10⁶ : 1-e⁻⁶⁸\approx1

Conclusion : la réponse à la question

Une coïncidence n'est extraordinaire que si l'on oublie le nombre d'occasions. Un événement de probabilité $1 0^{- 6}$ 10⁻⁶ arrive en moyenne 68 fois par jour en France : rare pour chacun, banal pour tous. La loi binomiale et l'approximation exponentielle le quantifient.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Justifiez

(1 - p)^{n} \approx e^{- n p}

(1-p)ⁿ≈ e^(-np).

$(1 - p)^{n} = e^{n l n (1 - p)}$ (1-p)ⁿ=e^(nln(1-p)) et $ln (1 - p) \approx - p$ ln(1-p)≈-p pour $p$ p petit (tangente en 0), d'où $e^{- n p}$ e^(-np).

Combien de jours pour qu'un tel événement m'arrive avec une chance sur deux ?

Il faut $e^{- p n} \leq \frac{1}{2}$ e^(-pn)≤1/2, soit $n \geq \frac{l n 2}{p} \approx 693000$ n≥ln2/p≈693 000 jours, environ 1 900 ans.

Les personnes sont-elles vraiment indépendantes ?

Pas toujours : une coïncidence peut concerner des personnes liées (même ville, même événement). Le modèle est une simplification qui donne l'ordre de grandeur.

Quel lien avec le paradoxe des anniversaires ?

Dans les deux cas, le nombre d'occasions (paires, personnes, jours) est bien plus grand que ce que l'intuition retient, ce qui rend la coïncidence probable.

Quelle est la variance de X ?

$V (X) = n p (1 - p) \approx 68$ V(X)=np(1-p)≈68 : l'écart type vaut environ 8, donc le nombre quotidien de coïncidences varie typiquement entre 52 et 84.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre la probabilité pour une personne et pour une population.
Écrire $P (X \geq 1) = n p$ P(X≥1)=np : c'est une approximation valable seulement si $n p$ np est petit.
Présenter les données (probabilité 10⁻⁶) comme mesurées : c'est un modèle illustratif.

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