Question de mathsMathsHasard et probabilités

Un jeu de hasard peut-il être favorable au joueur ?

Q: Calculez la variance du gain à la roulette.

$E(G²)=1$, donc $V(G)=1-(1/37)²≈0,999$. La dispersion est grande devant l'espérance : sur quelques parties, on peut gagner.

Q: Combien de parties pour que le casino soit quasiment sûr de gagner ?

Sur $n$ parties, le gain total a pour espérance $-n/37$ et pour écart type environ $ √n $. Pour $n=10 000$, l'espérance vaut $-270$ et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P( gain ≥0)≤(10 000)/270²≈0,14$.

L'espérance d'une variable aléatoire mesure le gain moyen par partie : à la roulette, miser 1 € sur le rouge rapporte en moyenne −1/37 € ; au Loto, la probabilité du gros lot est de 1 sur 19 068 840. Les jeux proposés au public ont une espérance négative pour le joueur.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un ami était persuadé d'avoir une « méthode » pour gagner à la roulette. En cours, on venait de voir l'espérance d'une variable aléatoire, et j'ai voulu tester ses affirmations par le calcul. C'est la question de la rationalité du jeu qui m'a intéressé : pourquoi joue-t-on à un jeu que les mathématiques déclarent perdant ?

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'espérance comme critère de décision et la loi des grands nombres pour comprendre ce qui se passe sur un grand nombre de parties.

Mathématiques

Variable aléatoire, loi, espérance (première)
Linéarité de l'espérance, somme de variables aléatoires (terminale)
Dénombrement : combinaisons (terminale)
Loi des grands nombres (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : qu'est-ce qu'un jeu favorable ?
1,5 min
Un jeu est favorable au joueur si son gain moyen par partie est positif. Problématique : comment mesurer ce gain moyen, et existe-t-il des jeux de hasard favorables ?
2. L'espérance : le gain moyen
3,5 min
À la roulette européenne (37 cases : 18 rouges, 18 noires, le zéro vert), on mise 1 € sur le rouge. Le gain $G$ G vaut $+ 1$ +1 avec probabilité $\frac{18}{37}$ 18/37 et $- 1$ -1 avec probabilité $\frac{19}{37}$ 19/37.
$E (G) = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = - \frac{1}{37} \approx - 0, 027$ E(G)=18/37-19/37=-1/37≈-0,027 : on perd en moyenne 2,7 centimes par euro misé. Toutes les mises simples de la roulette ont la même espérance : le zéro fait l'avantage du casino. Aucune « méthode » de mise ne change le signe, car l'espérance d'une somme de mises est la somme des espérances.
3. Le Loto et la loi des grands nombres
3,5 min
Au Loto, on choisit 5 numéros parmi 49 et un numéro « chance » parmi 10 : il y a $(5 49) \times 10 = 19068840$ binom495×10=19 068 840 grilles. La probabilité de gagner le gros lot avec une grille est de $\frac{1}{19 068 840}$ 1/(19 068 840).
Comme une partie des mises sert à financer l'organisateur et l'État, la somme redistribuée aux joueurs est inférieure aux mises : l'espérance de gain est négative.
La loi des grands nombres dit que, sur un grand nombre de parties, le gain moyen se rapproche de l'espérance : le joueur régulier perd presque sûrement, le casino gagne presque sûrement.
4. Conclusion
1,5 min
Les jeux de hasard proposés au public ne sont pas favorables : leur espérance est négative, et la loi des grands nombres garantit la perte à long terme. Un jeu peut toutefois rester rationnel pour qui accepte de payer le rêve d'un gain rare : l'espérance ne mesure pas l'utilité. J'ouvre sur l'assurance, qui est aussi un jeu d'espérance négative pour l'assuré, et pourtant raisonnable.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E (G) = 1 \times \frac{18}{37} + (- 1) \times \frac{19}{37} = - \frac{1}{37} \approx - 0, 027 euro par euro mis \overset{e}{ˊ} E(G)=1\times18/37+(-1)\times19/37=-1/37\approx-0,027 euro par euro misé Loto : (5 49) \times 10 = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 10 = 19068840 grilles Loto : C(49, 5) \times10=49\times48\times47\times46\times45/5\times4\times3\times2\times1\times10=19 068 840 grilles

Conclusion : la réponse à la question

Un jeu de hasard commercial n'est jamais favorable au joueur : son espérance est négative, et sur un grand nombre de parties, le gain moyen tend vers cette valeur négative. Les mathématiques ne disent pas qu'il est absurde de jouer, mais qu'on paie, en moyenne, pour le faire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

La martingale « doubler sa mise après chaque perte » ne garantit-elle pas un gain ?

Elle garantit un petit gain tant que la fortune est illimitée. En pratique, une série de pertes (après 10 pertes de suite, partant d'une mise de 1 €, la onzième mise atteint 1 024 €) épuise le capital ou atteint le plafond de mise : l'espérance reste négative.

Calculez la variance du gain à la roulette.

$E (G^{2}) = 1$ E(G²)=1, donc $V (G) = 1 - (\frac{1}{37})^{2} \approx 0, 999$ V(G)=1-(1/37)²≈0,999. La dispersion est grande devant l'espérance : sur quelques parties, on peut gagner.

Combien de parties pour que le casino soit quasiment sûr de gagner ?

Sur $n$ n parties, le gain total a pour espérance $- \frac{n}{37}$ -n/37 et pour écart type environ $n$ √n. Pour $n = 10000$ n=10 000, l'espérance vaut $- 270$ -270 et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P (gain \geq 0) \leq \frac{10 000}{27 0 ^{2}} \approx 0, 14$ P( gain ≥0)≤(10 000)/270²≈0,14.

Pourquoi

(5 49)

binom495 et pas

4 9^{5}

49⁵ ?

Parce que l'ordre des numéros ne compte pas et qu'ils sont distincts : ce sont des combinaisons, pas des listes.

Un jeu à espérance nulle est-il équitable ?

Oui, on parle de jeu équitable. Mais même dans ce cas, un joueur à capital limité finit par se ruiner face à un adversaire beaucoup plus riche : c'est la ruine du joueur.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre probabilité de gagner et espérance de gain.
Croire qu'une stratégie de mise peut changer le signe de l'espérance.
Avancer des chiffres de redistribution précis sans source : le raisonnement suffit.

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