Justifiez $ln(1-x)≈-x$.

La tangente à la courbe de $x↦ln(1-x)$ en 0 a pour équation $y=-x$, car la dérivée vaut $-1/(1-x)$, soit $-1$ en 0.

Question de mathsMathsHasard et probabilités

Dans une classe de 23 élèves, est-il probable que deux aient le même anniversaire ?

Q: Quelle est la probabilité qu'un autre élève ait le même anniversaire que moi ?

C'est une autre question : $1-(364/365)²²≈0,06$. Il faudrait 253 autres personnes pour dépasser $1/2$.

Q: Combien de paires dans une classe de 35 ?

$binom352=35×34/2=595$ paires ; la probabilité d'une coïncidence est d'environ 81 %.

Avec 23 personnes, la probabilité que deux partagent leur anniversaire dépasse 50 % (50,7 %) ; elle atteint 97 % avec 50 personnes. Le calcul passe par l'événement contraire, et une approximation par l'exponentielle explique le nombre 23.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans ma classe de 35 élèves, deux camarades sont nés le même jour, et tout le monde a crié à la coïncidence. Notre professeur a affirmé que c'était presque certain. J'ai voulu vérifier, et j'ai découvert qu'il suffit de 23 personnes pour que la probabilité dépasse une chance sur deux.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'événement contraire et le principe multiplicatif pour calculer une probabilité contre-intuitive, puis l'approcher par l'exponentielle.

Mathématiques

Dénombrement : arrangements, principe multiplicatif (terminale)
Probabilité de l'événement contraire (seconde)
Approximation $ln (1 - x) \approx - x$ ln(1-x)≈-x et fonction exponentielle (terminale)
Somme des entiers $1 + 2 + \dots + n$ 1+2+…+n (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une intuition trompeuse
1,5 min
Spontanément, on compare 23 à 365 et l'on pense qu'une coïncidence est rare. Problématique : quelle est vraiment la probabilité que deux personnes parmi $n$ n partagent leur anniversaire ? Hypothèses : 365 jours équiprobables, naissances indépendantes.
2. Calcul exact par l'événement contraire
3,5 min
L'événement contraire est « tous les anniversaires sont différents ». Le premier élève a 365 choix, le deuxième 364, …, le $n$ n-ième $365 - n + 1$ 365-n+1. Donc $P (tous diff \overset{e}{ˊ} rents) = \frac{365 \times 364 \times \dots \times ( 365 - n + 1 )}{36 5 ^{n}}$ P( tous différents )=(365×364×…×(365-n+1))/365ⁿ.
Pour $n = 23$ n=23, ce produit vaut environ $0, 493$ 0,493, d'où $P (au moins une paire) \approx 0, 507$ P( au moins une paire )≈0,507. Pour $n = 50$ n=50, on obtient environ $0, 97$ 0,97 ; pour 70 élèves, plus de $0, 999$ 0,999.
3. Pourquoi 23 ? Une approximation par l'exponentielle
3,5 min
Chaque facteur s'écrit $1 - \frac{k}{365}$ 1-k/365. Pour $x$ x petit, $ln (1 - x) \approx - x$ ln(1-x)≈-x, donc $1 - x \approx e^{- x}$ 1-x≈ e^(-x). Le produit est proche de $e^{- \frac{1 + 2 + \dots + ( n - 1 )}{365}} = e^{- \frac{n ( n - 1 )}{730}}$ e^(-(1+2+…+(n-1))/365)=e^(-(n(n-1))/730).
On veut que ce produit vaille $\frac{1}{2}$ 1/2 : $\frac{n ( n - 1 )}{730} \approx ln 2 \approx 0, 69$ (n(n-1))/730≈ln2≈0,69, soit $n (n - 1) \approx 506$ n(n-1)≈506. Pour $n = 23$ n=23, $23 \times 22 = 506$ 23×22=506 : c'est exactement le seuil.
La clé : avec 23 personnes, il y a $(2 23) = 253$ binom232=253 paires possibles, et c'est le nombre de paires, pas le nombre de personnes, qu'il faut comparer à 365.
4. Conclusion
1,5 min
Oui : dans une classe de 23 élèves, il y a un peu plus d'une chance sur deux que deux élèves aient le même anniversaire. L'intuition se trompe car elle compte les personnes au lieu des paires. J'ouvre sur la sécurité informatique : les « attaques par anniversaire » exploitent ce phénomène pour trouver des collisions de codes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (tous diff \overset{e}{ˊ} rents) = \frac{365 \times 364 \times \dots \times ( 365 - n + 1 )}{36 5 ^{n}} = k = 1 \prod n - 1 (1 - \frac{k}{365}) P( tous différents )=(365\times364\times\dots\times(365-n+1))/365ⁿ=Π_k=1ⁿ⁻¹(1-k/365) \approx exp (- \frac{1 + 2 + \dots + ( n - 1 )}{365}) = exp (- \frac{n ( n - 1 )}{730}) \approxexp (-(1+2+\dots+(n-1))/365)=exp (-(n(n-1))/730) n = 23 : \frac{23 \times 22}{730} = \frac{506}{730} \approx 0, 693 \approx ln 2 \Rightarrow P (paire) \approx \frac{1}{2} (exact : 0, 507) n=23 : 23\times22/730=506/730\approx0,693\approxln2 \Rightarrow P( paire )\approx1/2 ( exact : 0,507)

Conclusion : la réponse à la question

Le paradoxe des anniversaires n'en est pas un : avec 23 personnes, on forme 253 paires, et la probabilité d'une coïncidence dépasse $\frac{1}{2}$ 1/2. Le calcul exact passe par l'événement contraire ; l'approximation $1 - x \approx e^{- x}$ 1-x≈ e^(-x) explique d'où vient le nombre 23.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quelle est la probabilité qu'un autre élève ait le même anniversaire que moi ?

C'est une autre question : $1 - (\frac{364}{365})^{22} \approx 0, 06$ 1-(364/365)²²≈0,06. Il faudrait 253 autres personnes pour dépasser $\frac{1}{2}$ 1/2.

Les hypothèses sont-elles réalistes ?

Pas tout à fait : les naissances ne sont pas uniformes dans l'année et il y a le 29 février. Mais une répartition non uniforme augmente la probabilité de coïncidence : le résultat est donc une borne inférieure.

Justifiez

ln (1 - x) \approx - x

ln(1-x)≈-x.

La tangente à la courbe de $x \mapsto ln (1 - x)$ x↦ln(1-x) en 0 a pour équation $y = - x$ y=-x, car la dérivée vaut $- \frac{1}{1 - x}$ -1/(1-x), soit $- 1$ -1 en 0.

Comment vérifier par simulation ?

On génère 23 dates au hasard, on teste s'il y a un doublon, et on répète 10 000 fois : la fréquence obtenue se stabilise autour de 0,51 d'après la loi des grands nombres.

Combien de paires dans une classe de 35 ?

$(2 35) = \frac{35 \times 34}{2} = 595$ binom352=35×34/2=595 paires ; la probabilité d'une coïncidence est d'environ 81 %.

Les pièges qui coûtent des points

Calculer la probabilité qu'un élève précis partage son anniversaire avec un autre : ce n'est pas la question.
Oublier de passer par l'événement contraire, ce qui rend le calcul direct impossible.
Présenter l'approximation exponentielle comme un résultat exact.

Revoir les notions

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