Question de mathsMathsHasard et probabilités

Faut-il croire un test de dépistage positif ?

Q: Que se passe-t-il si la prévalence est de 20 % ?

$P(T)=0,2×0,99+0,8×0,02=0,214$ et $P_T(M)=0,198/0,214≈0,93$. Le même test devient très fiable dans une population à risque.

Q: Quelle est la probabilité d'être sain sachant que le test est négatif ?

$P(T̅)=1-0,0297=0,9703$ et $P(M̅capT̅)=0,99×0,98=0,9702$, donc $P_T̅(M̅)≈0,9999$ : un test négatif est très rassurant.

Q: Qu'appelle-t-on sensibilité et spécificité ?

La sensibilité est $P_M(T)$ (ici 99 %), la spécificité $P_M̅(T̅)$ (ici 98 %). Ce sont des caractéristiques du test, indépendantes de la population.

Q: Pourquoi les deux tests doivent-ils être indépendants ?

Pour pouvoir multiplier les probabilités : $P_M(T₁∩ T₂)=P_M(T₁)P_M(T₂)$. Un même test répété sur le même prélèvement ne serait pas indépendant.

Avec une maladie touchant 1 % de la population et un test fiable à 99 % chez les malades et 98 % chez les non-malades, un résultat positif ne correspond à un malade qu'une fois sur trois : la formule des probabilités totales et l'inversion du conditionnement l'expliquent.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai été frappé par un exercice de première : un test « fiable à 99 % » donnait, en cas de résultat positif, seulement une chance sur trois d'être malade. J'ai d'abord cru à une erreur de l'énoncé. Comprendre ce résultat m'a montré à quel point les probabilités conditionnelles corrigent notre intuition, avec des conséquences très concrètes en médecine.

L'enjeu et les notions du programme

Distinguer P_M(+) et P_+(M), deux probabilités conditionnelles que l'intuition confond, et calculer l'une à partir de l'autre avec un arbre et la formule des probabilités totales.

Mathématiques

Probabilités conditionnelles, arbres pondérés (première)
Formule des probabilités totales (première)
Inversion du conditionnement : $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A)=(P(A∩ B))/P(B) (première)
Répétition d'épreuves indépendantes (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un paradoxe apparent
1,5 min
Je pose la situation : une maladie touche 1 % de la population ; le test est positif chez 99 % des malades et négatif chez 98 % des non-malades. Une personne est testée positive. Problématique : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?
2. Construire l'arbre et appliquer les probabilités totales
3,5 min
On note $M$ M « être malade » et $T$ T « test positif ». Données : $P (M) = 0, 01$ P(M)=0,01, $P_{M} (T) = 0, 99$ P_M(T)=0,99, $P_{\overline{M}} (T) = 0, 02$ P_M̅(T)=0,02.
Par la formule des probabilités totales : $P (T) = P (M) P_{M} (T) + P (\overline{M}) P_{\overline{M}} (T) = 0, 0099 + 0, 0198 = 0, 0297$ P(T)=P(M)P_M(T)+P(M̅)P_M̅(T)=0,0099+0,0198=0,0297.
Interprétation sur 10 000 personnes : 100 malades, dont 99 testés positifs ; 9 900 non-malades, dont 198 faux positifs. Au total, 297 positifs.
3. Inverser le conditionnement
3,5 min
On cherche $P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 0099}{0 , 0297} = \frac{1}{3}$ P_T(M)=(P(M∩ T))/P(T)=0,0099/0,0297=1/3. Parmi les 297 positifs, seuls 99 sont malades.
L'explication : les faux positifs, bien que rares en proportion (2 %), portent sur une population 99 fois plus nombreuse. C'est la faible prévalence qui fait chuter la valeur prédictive du test.
Conséquence pratique : on confirme un test positif par un second test. Si les deux tests sont indépendants, la nouvelle prévalence vaut $\frac{1}{3}$ 1/3, et la probabilité d'être malade après deux positifs monte à $\frac{\frac{1}{3} \times 0 , 99}{\frac{1}{3} \times 0 , 99 + \frac{2}{3} \times 0 , 02} \approx 0, 96$ 1/3×0,99/(1/3×0,99+2/3×0,02)≈0,96.
4. Conclusion
1,5 min
Il ne faut pas croire aveuglément un test positif sur une maladie rare : la probabilité d'être malade dépend autant de la prévalence que de la fiabilité du test. La différence entre $P_{M} (T)$ P_M(T) et $P_{T} (M)$ P_T(M) est au cœur du raisonnement médical, judiciaire ou statistique. J'ouvre sur le dépistage ciblé, qui augmente la prévalence dans la population testée.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (T) = P (M) P_{M} (T) + P (\overline{M}) P_{\overline{M}} (T) = 0, 01 \times 0, 99 + 0, 99 \times 0, 02 = 0, 0297 P(T)=P(M) P_M(T)+P(M̅) P_M̅(T)=0,01\times0,99+0,99\times0,02=0,0297 P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 0099}{0 , 0297} = \frac{1}{3} P_T(M)=(P(M\cap T))/P(T)=0,0099/0,0297=1/3 Sur 10000 : 99 vrais positifs, 198 faux positifs Sur 10 000 : 99 vrais positifs , 198 faux positifs

Conclusion : la réponse à la question

Un test positif sur une maladie rare doit être confirmé : malgré une fiabilité de 99 %, la probabilité d'être malade n'est que de $\frac{1}{3}$ 1/3 ici. Le calcul repose sur la formule des probabilités totales et sur l'inversion du conditionnement, deux outils du programme qui corrigent une erreur d'intuition très répandue.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que se passe-t-il si la prévalence est de 20 % ?

$P (T) = 0, 2 \times 0, 99 + 0, 8 \times 0, 02 = 0, 214$ P(T)=0,2×0,99+0,8×0,02=0,214 et $P_{T} (M) = \frac{0 , 198}{0 , 214} \approx 0, 93$ P_T(M)=0,198/0,214≈0,93. Le même test devient très fiable dans une population à risque.

Quelle est la probabilité d'être sain sachant que le test est négatif ?

$P (\overline{T}) = 1 - 0, 0297 = 0, 9703$ P(T̅)=1-0,0297=0,9703 et $P (\overline{M} \cap \overline{T}) = 0, 99 \times 0, 98 = 0, 9702$ P(M̅capT̅)=0,99×0,98=0,9702, donc $P_{\overline{T}} (\overline{M}) \approx 0, 9999$ P_T̅(M̅)≈0,9999 : un test négatif est très rassurant.

Qu'appelle-t-on sensibilité et spécificité ?

La sensibilité est $P_{M} (T)$ P_M(T) (ici 99 %), la spécificité $P_{\overline{M}} (\overline{T})$ P_M̅(T̅) (ici 98 %). Ce sont des caractéristiques du test, indépendantes de la population.

Pourquoi les deux tests doivent-ils être indépendants ?

Pour pouvoir multiplier les probabilités : $P_{M} (T_{1} \cap T_{2}) = P_{M} (T_{1}) P_{M} (T_{2})$ P_M(T₁∩ T₂)=P_M(T₁)P_M(T₂). Un même test répété sur le même prélèvement ne serait pas indépendant.

Où retrouve-t-on cette erreur hors de la médecine ?

Dans les tribunaux (« sophisme du procureur »), où l'on confond la probabilité d'un indice sachant l'innocence et la probabilité de l'innocence sachant l'indice, ou dans les filtres anti-spam.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre $P_{M} (T)$ P_M(T), donnée par le fabricant, et $P_{T} (M)$ P_T(M), qui intéresse le patient.
Oublier les faux positifs dans le calcul de P(T).
Présenter un résultat sans l'interpréter sur un effectif concret.

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