Question de mathsMathsHasard et probabilités

Au jeu de Monty Hall, faut-il changer de porte ?

Q: Et avec 100 portes, où l'animateur en ouvre 98 perdantes ?

En changeant, on gagne avec probabilité $99/100$ : on ne perd que si le premier choix était la voiture. L'intuition devient alors évidente.

Q: Calculez la probabilité que la voiture soit derrière la porte restante sachant que l'animateur a ouvert la porte 3.

Si le candidat a choisi la porte 1 : $P(V₂| O₃)=P(V₂)P_V₂(O₃)/P(O₃)=1/3×1/(1/3×1/2+1/3×1)=2/3$, avec $P(O₃)=1/2$ par les probabilités totales.

Derrière l'une de trois portes se trouve une voiture ; après l'ouverture d'une porte perdante par l'animateur, changer de choix fait gagner avec probabilité 2/3 et non 1/2. Un arbre pondéré le démontre.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai découvert le problème de Monty Hall dans une vidéo où même des mathématiciens se trompaient. Ma première réponse était « une chance sur deux, peu importe ». Quand j'ai dessiné l'arbre de probabilités, la réponse a basculé. J'ai choisi cette question parce qu'elle montre que bien modéliser une expérience compte plus que calculer.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser rigoureusement une expérience aléatoire en plusieurs étapes, avec des probabilités conditionnelles, et identifier l'information apportée par un événement.

Mathématiques

Arbres pondérés et probabilités conditionnelles (première)
Formule des probabilités totales (première)
Indépendance et dépendance d'événements (terminale)
Simulation et loi des grands nombres (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le jeu
1,5 min
Trois portes, une voiture, deux chèvres. Le candidat choisit une porte. L'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte cachant une chèvre, puis propose de changer. Problématique : faut-il changer, ou est-ce indifférent ?
2. L'arbre de la stratégie « je change »
4 min
Premier niveau : le choix initial est la voiture avec probabilité $\frac{1}{3}$ 1/3, une chèvre avec probabilité $\frac{2}{3}$ 2/3.
Si le choix initial est la voiture, l'animateur ouvre l'une des deux chèvres ; en changeant, on perd. Si le choix initial est une chèvre, l'animateur est obligé d'ouvrir l'autre chèvre ; la porte restante est la voiture : en changeant, on gagne à coup sûr.
Donc $P (gagner en changeant) = \frac{1}{3} \times 0 + \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$ P( gagner en changeant )=1/3×0+2/3×1=2/3, alors que $P (gagner sans changer) = \frac{1}{3}$ P( gagner sans changer )=1/3.
3. Pourquoi l'intuition « une chance sur deux » est fausse
3 min
L'erreur consiste à croire que l'ouverture de la porte « remet les compteurs à zéro ». Or l'animateur ne choisit pas au hasard : il évite toujours la voiture. Son geste apporte une information sur la porte qu'il ne peut pas ouvrir.
Si l'animateur ouvrait une porte au hasard et tombait par chance sur une chèvre, alors les deux portes restantes seraient équiprobables : $\frac{1}{2}$ 1/2. Le résultat dépend donc du comportement de l'animateur, c'est-à-dire de la modélisation.
4. Conclusion
1,5 min
Il faut changer : on double ses chances, de $\frac{1}{3}$ 1/3 à $\frac{2}{3}$ 2/3. Le problème montre que la même situation apparente peut conduire à des probabilités différentes selon les hypothèses. J'ouvre sur la vérification par simulation, qui convainc souvent plus que le calcul.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (gagner en changeant) = voiture choisie \frac{1}{3} \times 0 + ch \overset{e}{ˋ} vre choisie \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3} P( gagner en changeant )= 1/3 _voiture choisie\times0+ 2/3 _chèvre choisie\times1=2/3 P (gagner sans changer) = \frac{1}{3} P( gagner sans changer )=1/3

Conclusion : la réponse à la question

Changer de porte fait gagner deux fois sur trois. L'ouverture d'une porte par un animateur informé n'est pas neutre : elle concentre sur la porte restante la probabilité $\frac{2}{3}$ 2/3 des deux portes non choisies. Bien modéliser l'expérience est la clé.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Et avec 100 portes, où l'animateur en ouvre 98 perdantes ?

En changeant, on gagne avec probabilité $\frac{99}{100}$ 99/100 : on ne perd que si le premier choix était la voiture. L'intuition devient alors évidente.

Calculez la probabilité que la voiture soit derrière la porte restante sachant que l'animateur a ouvert la porte 3.

Si le candidat a choisi la porte 1 : $P (V_{2} ∣ O_{3}) = \frac{P ( V _{2} ) P _{V_{2}} ( O _{3} )}{P ( O _{3} )} = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times 1} = \frac{2}{3}$ P(V₂| O₃)=P(V₂)P_V₂(O₃)/P(O₃)=1/3×1/(1/3×1/2+1/3×1)=2/3, avec $P (O_{3}) = \frac{1}{2}$ P(O₃)=1/2 par les probabilités totales.

Comment simuler le jeu en Python ?

On tire la porte gagnante et le choix initial au hasard, on applique la stratégie « changer » et on compte les victoires sur 10 000 parties : la fréquence se stabilise autour de 0,667.

Les événements « choix initial » et « porte ouverte » sont-ils indépendants ?

Non : la porte ouverte dépend du choix initial et de la position de la voiture. C'est justement cette dépendance qui crée l'information.

Que se passe-t-il si l'animateur ouvre une porte au hasard ?

Sachant qu'il a révélé une chèvre, les deux portes restantes ont chacune une probabilité $\frac{1}{2}$ 1/2 : changer devient indifférent.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier de préciser que l'animateur connaît la position de la voiture.
Raisonner sur « deux portes restantes donc une chance sur deux » sans arbre.
Se contenter de la simulation sans démonstration.

Revoir les notions

Probabilités conditionnelles (Première spé maths) →

Autres questions : hasard et probabilités

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

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