Une baguette de 1 m peut-elle entrer dans une valise de 80 × 50 × 30 cm ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Avant un voyage, je voulais emporter un objet long dans une valise et je me suis demandé s'il entrerait en diagonale. J'ai compris que la réponse dépendait de la diagonale du pavé, que l'on calcule en appliquant deux fois le théorème de Pythagore, ou directement avec la norme d'un vecteur.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une longueur dans l'espace par le théorème de Pythagore et par la norme d'un vecteur, et interpréter le résultat comme un maximum.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : une question pratique

   1,5 min

   Une valise intérieure mesure 80 cm × 50 cm × 30 cm. Problématique : quelle est la plus grande longueur d'un objet rectiligne que l'on peut y ranger, et une baguette de 1 m y entre-t-elle ?

2. 2. Pythagore deux fois

   3,5 min

   La diagonale du fond mesure $\sqrt{80^2+50^2}=\sqrt{8900}$√(80²+50²)=√(8 900). La grande diagonale relie un coin du fond au coin opposé du couvercle : elle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la diagonale du fond et la hauteur.

   Donc $D^2=80^2+50^2+30^2=6400+2500+900=9800$D²=80²+50²+30²=6 400+2 500+900=9 800, et $D=\sqrt{9800}\approx 99$D=√(9 800)≈99 cm.

   Sans calculatrice : $99^2=9801$99²=9 801, donc $D$D est très légèrement inférieur à 99 cm. La baguette de 100 cm n'entre pas, il manque environ 1 cm.

3. 3. Avec les vecteurs, et pourquoi c'est le maximum

   3,5 min

   Dans un repère orthonormé dont l'origine est un coin, le coin opposé a pour coordonnées $(80;50;30)$(80;50;30), et la diagonale est la norme $\sqrt{80^2+50^2+30^2}$√(80²+50²+30²). Pour un cube de côté $a$a : $a\sqrt{3}$asqrt3.

   Pourquoi est-ce la plus grande longueur possible ? Deux points $M(x;y;z)$M(x;y;z) et $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$M'(x';y';z') du pavé vérifient $|x-x^{\prime }|\le 80$|x-x'|≤80, $|y-y^{\prime }|\le 50$|y-y'|≤50, $|z-z^{\prime }|\le 30$|z-z'|≤30, donc $M{M}^{\prime 2}\le 80^2+50^2+30^2$MM'²≤80²+50²+30². L'égalité n'a lieu que pour deux coins opposés.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La plus grande longueur qui tient dans un pavé est sa grande diagonale $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$√(a²+b²+c²) ; ici environ 99 cm, donc la baguette d'un mètre n'entre pas. Le calcul combine le théorème de Pythagore et la norme d'un vecteur. J'ouvre sur les dimensions maximales des bagages en cabine, souvent fixées par la somme des trois dimensions.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Prendre la diagonale du fond au lieu de la grande diagonale.
• Arrondir √9 800 à 99 et conclure que la baguette « entre presque » sans comparer précisément.
• Oublier de justifier que c'est la plus grande longueur possible.

Revoir les notions

• Géométrie dans l'espace (vecteurs) (Terminale spé maths) →

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