Le point $(3;2;2)$ appartient-il à $d₁$ ?

Il faut $1+t=3$, $t=2$, $z=2$ : $t=2$ convient pour les trois, donc oui.

Question de mathsMathsGéométrie dans l'espace

Comment savoir si deux droites de l'espace se coupent ?

Dans l'espace, deux droites peuvent être sécantes, parallèles ou non coplanaires. Avec des représentations paramétriques, on résout un système de trois équations à deux inconnues : une solution, aucune, ou une infinité.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans le plan, deux droites non parallèles se coupent toujours. En regardant deux branches d'un arbre ou deux poutres d'une charpente, j'ai compris que dans l'espace ce n'est plus vrai. J'ai voulu savoir comment on décide, par le calcul, si deux droites se rencontrent.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier la position relative de deux droites de l'espace avec des représentations paramétriques et la résolution d'un système.

Mathématiques

Représentation paramétrique d'une droite de l'espace (terminale)
Vecteurs directeurs, colinéarité (terminale)
Positions relatives de deux droites : sécantes, parallèles, non coplanaires (terminale)
Résolution de systèmes d'équations (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une différence avec le plan
1,5 min
Dans le plan, deux droites sont parallèles ou sécantes. Dans l'espace, une troisième situation apparaît : deux droites peuvent ne pas être parallèles et ne jamais se rencontrer, comme une arête verticale et une arête horizontale opposée d'un cube. Problématique : comment le décider par le calcul ?
2. Représentations paramétriques
3 min
Une droite passant par $A$ A et dirigée par $u$ vecteur u est l'ensemble des points $M$ M tels que $A M = t u$ vecteur AM =t vecteur u, $t \in R$ t∈ℝ. En coordonnées : $x = x_{A} + t a$ x=x_A+ta, $y = y_{A} + t b$ y=y_A+tb, $z = z_{A} + t c$ z=z_A+tc.
Première étape : comparer les vecteurs directeurs. S'ils sont colinéaires, les droites sont parallèles (éventuellement confondues). Sinon, elles sont sécantes ou non coplanaires.
3. Résoudre le système : deux exemples
4 min
$d_{1}$ d₁ : $(1 + t; t; 2)$ (1+t; t; 2) et $d_{2}$ d₂ : $(2; 3 + s; - s)$ (2; 3+s; -s). Un point commun vérifie $1 + t = 2$ 1+t=2, $t = 3 + s$ t=3+s, $2 = - s$ 2=-s. La première donne $t = 1$ t=1, la troisième $s = - 2$ s=-2, et la deuxième se vérifie : $1 = 3 - 2$ 1=3-2. Les droites sont sécantes en $(2; 1; 2)$ (2;1;2).
$d_{1}$ d₁ et $d_{3}$ d₃ : $(s; 1 - s; s)$ (s; 1-s; s). On écrit $1 + t = s$ 1+t=s, $t = 1 - s$ t=1-s, $2 = s$ 2=s. Alors $s = 2$ s=2 donne $t = 1$ t=1 par la première, mais $t = - 1$ t=-1 par la deuxième : contradiction. Les vecteurs directeurs $(1; 1; 0)$ (1;1;0) et $(1; - 1; 1)$ (1;-1;1) n'étant pas colinéaires, les droites ne sont ni sécantes ni parallèles : elles sont non coplanaires.
Le point clé : trois équations pour deux inconnues. Deux équations suffisent à trouver $t$ t et $s$ s ; la troisième décide.
4. Conclusion
1,5 min
Pour savoir si deux droites de l'espace se coupent, on compare leurs vecteurs directeurs puis on résout un système de trois équations à deux inconnues : la compatibilité de la troisième équation tranche entre sécantes et non coplanaires. J'ouvre sur la distance entre deux droites non coplanaires, réalisée par une perpendiculaire commune.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

d_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = t z = 2 d_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 y = 3 + s z = - s d₁: x=1+t ; y=t ; z=2 d₂: x=2 ; y=3+s ; z=-s 1 + t = 2, 2 = - s \Rightarrow t = 1, s = - 2; t = 3 + s v \overset{e}{ˊ} rifi \overset{e}{ˊ} e \Rightarrow (2; 1; 2) 1+t=2, 2=-s \Rightarrow t=1, s=-2 ; t=3+s vérifiée \Rightarrow (2;1;2) d_{3} : (s; 1 - s; s) : s = 2, t = 1 et t = - 1 \Rightarrow incompatible d₃:(s; 1-s; s) : s=2, t=1 et t=-1 \Rightarrow incompatible

Conclusion : la réponse à la question

Deux droites de l'espace se coupent si et seulement si le système formé par leurs représentations paramétriques a une solution. Sinon, elles sont parallèles (vecteurs directeurs colinéaires) ou non coplanaires, une situation qui n'existe pas dans le plan.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Donnez un exemple de droites non coplanaires dans un cube ABCDEFGH.

Les droites (AB) et (CG) : la première est horizontale sur la face du bas, la seconde verticale, et elles ne se rencontrent pas sans être parallèles.

Pourquoi utiliser deux paramètres différents t et s ?

Parce que le point commun n'est pas obtenu pour la même valeur du paramètre sur les deux droites. Utiliser le même paramètre reviendrait à chercher deux mobiles au même endroit au même instant.

Comment savoir si deux droites sont confondues ?

Elles sont parallèles (vecteurs directeurs colinéaires) et un point de l'une appartient à l'autre.

Le point

(3; 2; 2)

(3;2;2) appartient-il à

d_{1}

d₁ ?

Il faut $1 + t = 3$ 1+t=3, $t = 2$ t=2, $z = 2$ z=2 : $t = 2$ t=2 convient pour les trois, donc oui.

Quel lien avec la physique ?

Deux mobiles en mouvement rectiligne uniforme : leurs trajectoires peuvent se croiser sans collision si les mobiles ne passent pas au point commun au même instant. C'est la différence entre paramètres distincts et paramètre commun.

Les pièges qui coûtent des points

Conclure « sécantes » dès que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
Utiliser le même paramètre pour les deux droites.
Oublier de vérifier la troisième équation.

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