Comment mesurer un angle dans l'espace avec des coordonnées ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En chimie, j'ai appris que les liaisons de la molécule de méthane forment un angle de 109,5°, et que les atomes d'hydrogène sont aux sommets d'un tétraèdre inscrit dans un cube. Je me suis demandé comment calculer cet angle sans rapporteur. Le produit scalaire dans l'espace m'a donné la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le produit scalaire dans l'espace pour calculer un angle à partir de coordonnées, sans mesure.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : un angle impossible à mesurer

   1,5 min

   Dans un cube, on trace deux grandes diagonales, qui relient des sommets opposés. Elles se coupent au centre. Problématique : quel angle forment-elles, et comment le calculer sans mesurer ?

2. 2. Le produit scalaire

   3 min

   Pour deux vecteurs non nuls, $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ, où $\theta$θ est l'angle entre eux. En repère orthonormé, $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$vecteur u · vecteur v =xx'+yy'+zz'.

   On en déduit $\cos \theta =\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}$cosθ=(xx'+yy'+zz')/(√(x²+y²+z²)√(x'²+y'²+z'²)) : l'angle se calcule entièrement avec les coordonnées.

3. 3. Les diagonales du cube

   4 min

   On place le cube de côté 2 centré en l'origine : ses sommets ont des coordonnées $\pm 1$±1. Deux grandes diagonales sont dirigées par $\vec{u}(1;1;1)$vecteur u (1;1;1) et $\vec{v}(1;1;-1)$vecteur v (1;1;-1).

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=1+1-1=1$vecteur u · vecteur v =1+1-1=1, $\Vert \vec{u}\Vert =\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{3}$‖ vecteur u ‖=‖ vecteur v ‖=sqrt3, donc $\cos \theta =\frac{1}{3}$cosθ=1/3 et $\theta \approx 70,5°$θ≈70,5°. L'angle supplémentaire vaut $\approx 109,5°$≈109,5°.

   C'est l'angle de la molécule de méthane : le carbone au centre du cube, les hydrogènes en quatre sommets non adjacents (un tétraèdre régulier). Les directions vers deux hydrogènes, par exemple $(1;1;1)$(1;1;1) et $(1;-1;-1)$(1;-1;-1), ont pour produit scalaire $-1$-1, soit $\cos \theta =-\frac{1}{3}$cosθ=-1/3, d'où $109,5°$109,5°.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Le produit scalaire transforme une question d'angle en un calcul sur les coordonnées. Il donne l'angle entre deux grandes diagonales d'un cube, $\arccos \frac{1}{3}\approx 70,5°$arccos1/3≈70,5°, et l'angle tétraédrique $109,5°$109,5° des molécules comme le méthane. J'ouvre sur l'orthogonalité, cas particulier où le produit scalaire est nul.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier de diviser par les normes.
• Confondre l'angle et son supplémentaire selon le sens des vecteurs.
• Utiliser la formule en coordonnées dans un repère non orthonormé.

Revoir les notions

• Géométrie dans l'espace (vecteurs) (Terminale spé maths) →
• Produit scalaire dans le plan (Première spé maths) →

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