Question de mathsMathsGéométrie dans l'espace

Comment calculer la distance d'un point à un plan ?

Q: Pourquoi $(a;b;c)$ est-il normal au plan $ax+by+cz+d=0$ ?

Pour deux points $M$ et $M'$ du plan, la différence des équations donne $a(x'-x)+b(y'-y)+c(z'-z)=0$, soit $ vecteur n · vecteur MM' =0$.

Q: Démontrez la formule générale de la distance.

En posant $H=A+k vecteur n $ dans l'équation : $ax_A+by_A+cz_A+d+k‖ vecteur n ‖²=0$, donc $|k|=(|ax_A+by_A+cz_A+d|)/(‖ vecteur n ‖²)$ et $AH=|k|‖ vecteur n ‖$.

Q: Que signifie une distance nulle ?

Que $A$ appartient au plan : $ax_A+by_A+cz_A+d=0$.

La distance d'un point à un plan est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur le plan. Avec un vecteur normal, on trouve H en résolvant une équation du premier degré : pour A(1 ; 1 ; 1) et x + 2y + 2z − 9 = 0, on obtient 4/3.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En architecture, on m'a expliqué qu'il faut parfois calculer la hauteur d'un point au-dessus d'un toit incliné. Ce problème revient à mesurer la distance d'un point à un plan. J'ai voulu comprendre pourquoi cette distance se mesure perpendiculairement, et comment la calculer avec les coordonnées.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le vecteur normal d'un plan et le produit scalaire pour déterminer un projeté orthogonal et une distance.

Mathématiques

Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité (terminale)
Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan (terminale)
Projeté orthogonal d'un point sur un plan (terminale)
Représentation paramétrique d'une droite (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : quelle distance ?
1,5 min
La distance d'un point $A$ A à un plan $P$ P est la plus petite distance $A M$ AM quand $M$ M parcourt le plan. Problématique : quel point $M$ M réalise ce minimum, et comment calculer la distance avec des coordonnées ?
2. Le projeté orthogonal réalise le minimum
3 min
Soit $H$ H le point du plan tel que $(A H)$ (AH) est orthogonale au plan. Pour tout $M$ M du plan, le triangle $A H M$ AHM est rectangle en $H$ H : $A M^{2} = A H^{2} + H M^{2} \geq A H^{2}$ AM²=AH²+HM²≥ AH², par le théorème de Pythagore. Donc $A H$ AH est la distance cherchée.
Un plan d'équation $a x + b y + cz + d = 0$ ax+by+cz+d=0 admet le vecteur normal $n (a; b; c)$ vecteur n (a;b;c). La droite perpendiculaire au plan passant par $A$ A est dirigée par $n$ vecteur n.
3. Calcul sur un exemple
4 min
$P : x + 2 y + 2 z - 9 = 0$ P: x+2y+2z-9=0, $A (1; 1; 1)$ A(1;1;1). La perpendiculaire passant par $A$ A : $(1 + k; 1 + 2 k; 1 + 2 k)$ (1+k; 1+2k; 1+2k). Elle coupe $P$ P quand $(1 + k) + 2 (1 + 2 k) + 2 (1 + 2 k) - 9 = 0$ (1+k)+2(1+2k)+2(1+2k)-9=0, soit $9 k - 4 = 0$ 9k-4=0, $k = \frac{4}{9}$ k=4/9.
Donc $H (\frac{13}{9}; \frac{17}{9}; \frac{17}{9})$ H(13/9;17/9;17/9) et $A H = ∣ k ∣ \times ∥ n ∥ = \frac{4}{9} \times 3 = \frac{4}{3}$ AH=|k|×‖ vecteur n ‖=4/9×3=4/3.
Généralisation : $A H = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ AH=(|ax_A+by_A+cz_A+d|)/(√(a²+b²+c²)). Ici $\frac{∣1 + 2 + 2 - 9∣}{3} = \frac{4}{3}$ (|1+2+2-9|)/3=4/3 : on retrouve le résultat directement.
4. Conclusion
1,5 min
La distance d'un point à un plan se mesure le long de la perpendiculaire : le théorème de Pythagore le justifie, et le vecteur normal permet de trouver le projeté par une équation du premier degré. J'ouvre sur le calcul du volume d'un tétraèdre, qui utilise cette distance comme hauteur.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A M^{2} = A H^{2} + H M^{2} \geq A H^{2} n (a; b; c) ⊥ P AM²=AH²+HM²\geq AH² vecteur n (a;b;c)⊥ P (1 + k) + 2 (1 + 2 k) + 2 (1 + 2 k) - 9 = 0 ⟺ k = \frac{4}{9} A H = \frac{4}{9} \times ∥ n ∥ = \frac{4}{9} \times 3 = \frac{4}{3} (1+k)+2(1+2k)+2(1+2k)-9=0\Leftrightarrow k=4/9 AH=4/9\times‖ vecteur n ‖=4/9\times3=4/3 d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} d(A,P)=(|ax_A+by_A+cz_A+d|)/(\sqrt(a²+b²+c²))

Conclusion : la réponse à la question

On calcule la distance d'un point à un plan en déterminant le projeté orthogonal grâce au vecteur normal ; le théorème de Pythagore garantit que c'est bien la plus courte distance. Ici, $d (A, P) = \frac{4}{3}$ d(A,P)=4/3.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi

(a; b; c)

(a;b;c) est-il normal au plan

a x + b y + cz + d = 0

ax+by+cz+d=0 ?

Pour deux points $M$ M et $M^{'}$ M' du plan, la différence des équations donne $a (x^{'} - x) + b (y^{'} - y) + c (z^{'} - z) = 0$ a(x'-x)+b(y'-y)+c(z'-z)=0, soit $n \cdot M M^{'} = 0$ vecteur n · vecteur MM' =0.

Démontrez la formule générale de la distance.

En posant $H = A + k n$ H=A+k vecteur n dans l'équation : $a x_{A} + b y_{A} + c z_{A} + d + k ∥ n ∥^{2} = 0$ ax_A+by_A+cz_A+d+k‖ vecteur n ‖²=0, donc $∣ k ∣ = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{∥ n ∥ ^{2}}$ |k|=(|ax_A+by_A+cz_A+d|)/(‖ vecteur n ‖²) et $A H = ∣ k ∣∥ n ∥$ AH=|k|‖ vecteur n ‖.

Que signifie une distance nulle ?

Que $A$ A appartient au plan : $a x_{A} + b y_{A} + c z_{A} + d = 0$ ax_A+by_A+cz_A+d=0.

Comment trouver la distance entre deux plans parallèles ?

On prend un point de l'un et on calcule sa distance à l'autre : pour x + 2y + 2z = 9 et x + 2y + 2z = 3, la distance vaut |9 − 3|/3 = 2.

Le repère doit-il être orthonormé ?

Oui : le vecteur normal et la formule de la norme supposent un repère orthonormé.

Comment expliquer ce calcul à un non-mathématicien ?

On part du point et on descend « tout droit » vers le plan, dans la direction perpendiculaire donnée par le vecteur normal. Le paramètre $k$ k dit combien de fois il faut avancer de ce vecteur pour toucher le plan ; la distance est alors $k$ k fois la longueur du vecteur.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la valeur absolue dans la formule.
Utiliser la formule dans un repère non orthonormé.
Calculer la distance à un point quelconque du plan au lieu du projeté.

Revoir les notions

Droites et plans dans l'espace (Terminale spé maths) →

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