Les vecteurs $(1;0;1)$, $(0;1;1)$ et $(1;1;2)$ forment-ils une base ?

Non : $(1;1;2)=(1;0;1)+(0;1;1)$, ils sont coplanaires.

Question de mathsMathsGéométrie dans l'espace

Pourquoi trois nombres suffisent-ils pour repérer n'importe quel point de l'espace ?

Q: Donnez les coordonnées du milieu de $[AB]$ avec $A(1;2;3)$ et $B(3;0;-1)$.

$((1+3)/2;(2+0)/2;(3-1)/2)=(2;1;1)$.

Avec trois vecteurs non coplanaires, tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique : c'est ce qui donne à chaque point trois coordonnées. La démonstration repose sur la notion de vecteurs coplanaires.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En jouant à un jeu vidéo en trois dimensions, je me suis demandé comment l'ordinateur « sait » où se trouve chaque objet. On m'a répondu : avec trois nombres. Mais pourquoi trois, et pas deux ou quatre ? En terminale, le chapitre sur les vecteurs de l'espace m'a donné une réponse précise, que je veux démontrer.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre ce qu'est une base de l'espace et pourquoi la décomposition d'un vecteur y est unique : le fondement du repérage et de toute la géométrie analytique en dimension 3.

Mathématiques

Vecteurs de l'espace, combinaisons linéaires (terminale)
Vecteurs coplanaires, base de l'espace (terminale)
Repère de l'espace et coordonnées (terminale)
Repérage dans le plan, base du plan (seconde et première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : de la droite à l'espace
1,5 min
Sur une droite, un nombre suffit (une abscisse) ; dans le plan, deux (abscisse et ordonnée). Problématique : pourquoi l'espace demande-t-il exactement trois nombres, et qu'est-ce qui garantit que chaque point a des coordonnées uniques ?
2. Base de l'espace
3,5 min
Trois vecteurs $i, j, k$ vecteur i , vecteur j , vecteur k forment une base de l'espace s'ils ne sont pas coplanaires, c'est-à-dire si aucun n'est combinaison linéaire des deux autres.
Propriété : pour tout vecteur $u$ vecteur u, il existe un unique triplet $(x; y; z)$ (x;y;z) tel que $u = x i + y j + z k$ vecteur u =x vecteur i +y vecteur j +z vecteur k. Existence, idée géométrique : on projette $u$ vecteur u parallèlement à $k$ vecteur k sur le plan dirigé par $i$ vecteur i et $j$ vecteur j, où l'on sait décomposer avec deux nombres, puis on complète avec $z k$ z vecteur k.
Un repère $(O; i, j, k)$ (O; vecteur i , vecteur j , vecteur k ) associe alors à chaque point $M$ M les coordonnées de $O M$ vecteur OM.
3. Pourquoi l'unicité
3,5 min
Si $x i + y j + z k = x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k$ x vecteur i +y vecteur j +z vecteur k =x' vecteur i +y' vecteur j +z' vecteur k, alors $(x - x^{'}) i + (y - y^{'}) j + (z - z^{'}) k = 0$ (x-x') vecteur i +(y-y') vecteur j +(z-z') vecteur k =vec0. Si $z \neq = z^{'}$ z≠ z', on pourrait écrire $k = - \frac{x - x ^{'}}{z - z ^{'}} i - \frac{y - y ^{'}}{z - z ^{'}} j$ vecteur k =-(x-x')/(z-z') vecteur i -(y-y')/(z-z') vecteur j : $k$ vecteur k serait combinaison de $i$ vecteur i et $j$ vecteur j, donc les trois vecteurs seraient coplanaires, ce qui est exclu. Donc $z = z^{'}$ z=z', puis $x = x^{'}$ x=x' et $y = y^{'}$ y=y' car $i$ vecteur i et $j$ vecteur j ne sont pas colinéaires.
Pourquoi pas deux nombres ? Deux vecteurs n'engendrent qu'un plan : un point hors de ce plan ne serait pas repéré. Pourquoi pas quatre ? Quatre vecteurs de l'espace sont toujours liés : l'un est combinaison des trois autres, et la décomposition ne serait plus unique.
4. Conclusion
1,5 min
Trois nombres suffisent parce que trois vecteurs non coplanaires forment une base : tout vecteur s'y décompose de manière unique. C'est ce qui permet de traduire la géométrie de l'espace en calculs. J'ouvre sur les jeux vidéo et la modélisation 3D, où chaque sommet d'un objet est stocké par ses trois coordonnées.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u = x i + y j + z k (i, j, k non coplanaires) vecteur u =x vecteur i +y vecteur j +z vecteur k ( vecteur i , vecteur j , vecteur k non coplanaires ) (x - x^{'}) i + (y - y^{'}) j + (z - z^{'}) k = 0 \Rightarrow x = x^{'}, y = y^{'}, z = z^{'} (x-x') vecteur i +(y-y') vecteur j +(z-z') vecteur k =vec0 \Rightarrow x=x', y=y', z=z'

Conclusion : la réponse à la question

Un point de l'espace se repère par trois nombres parce que trois vecteurs non coplanaires forment une base, dans laquelle tout vecteur a une décomposition unique. Deux vecteurs ne suffisent pas à engendrer l'espace, quatre seraient forcément liés.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les vecteurs

(1; 0; 1)

(1;0;1),

(0; 1; 1)

(0;1;1) et

(1; 1; 2)

(1;1;2) forment-ils une base ?

Non : $(1; 1; 2) = (1; 0; 1) + (0; 1; 1)$ (1;1;2)=(1;0;1)+(0;1;1), ils sont coplanaires.

Qu'est-ce que des vecteurs coplanaires ?

Trois vecteurs sont coplanaires si, représentés à partir d'un même point, ils sont dans un même plan ; de façon équivalente, l'un est combinaison linéaire des deux autres (ou deux sont colinéaires).

Donnez les coordonnées du milieu de

[A B]

[AB] avec

A (1; 2; 3)

A(1;2;3) et

B (3; 0; - 1)

B(3;0;-1).

$(\frac{1 + 3}{2}; \frac{2 + 0}{2}; \frac{3 - 1}{2}) = (2; 1; 1)$ ((1+3)/2;(2+0)/2;(3-1)/2)=(2;1;1).

Un repère de l'espace doit-il être orthonormé ?

Non, n'importe quelle base convient pour les coordonnées. L'orthonormalité est nécessaire pour calculer simplement des longueurs et des angles avec les coordonnées.

Comment un GPS utilise-t-il des coordonnées ?

Il exprime une position par trois nombres (latitude, longitude, altitude) dans un repère lié à la Terre : c'est une autre façon de repérer l'espace, avec des angles au lieu de longueurs.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre vecteurs non colinéaires et vecteurs non coplanaires.
Affirmer l'unicité sans démonstration.
Oublier qu'une base n'est pas forcément orthonormée.

Revoir les notions

Géométrie dans l'espace (vecteurs) (Terminale spé maths) →

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