Comment savoir si quatre points de l'espace sont dans un même plan ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un ami qui construisait une table bancale m'a dit qu'une table à quatre pieds peut boiter, alors qu'un tabouret à trois pieds ne boite jamais. J'ai compris que trois points définissent toujours un plan, mais pas quatre. J'ai voulu savoir comment tester, par le calcul, si quatre points sont coplanaires.

L'enjeu et les notions du programme

Caractériser la coplanarité par les vecteurs ou par une équation cartésienne, et traduire une question géométrique en système d'équations.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : le tabouret et la table

   1,5 min

   Trois points non alignés déterminent un unique plan : un tabouret à trois pieds est toujours stable. Quatre points ne sont pas toujours dans un même plan : une table peut boiter. Problématique : comment tester par le calcul si quatre points sont coplanaires ?

2. 2. Méthode vectorielle

   3,5 min

   $A,B,C,D$A,B,C,D sont coplanaires (avec $A,B,C$A,B,C non alignés) si et seulement s'il existe des réels $\alpha$α et $\beta$β tels que $\overrightarrow{AD}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}$vecteur AD =α vecteur AB +β vecteur AC.

   Exemple : $A(0;0;0)$A(0;0;0), $B(1;0;1)$B(1;0;1), $C(0;1;1)$C(0;1;1), $D(2;3;5)$D(2;3;5). On cherche $(2;3;5)=\alpha (1;0;1)+\beta (0;1;1)$(2;3;5)=α(1;0;1)+β(0;1;1) : $\alpha =2$α=2, $\beta =3$β=3, et la troisième coordonnée donne $\alpha +\beta =5$α+β=5 : vérifié. Les points sont coplanaires. Avec $D^{\prime }(2;3;4)$D'(2;3;4), on obtiendrait $5=4$5=4 : non coplanaires.

3. 3. Méthode par l'équation du plan

   3 min

   On cherche un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$vecteur n (a;b;c) orthogonal à $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC : $a+c=0$a+c=0 et $b+c=0$b+c=0. Avec $c=-1$c=-1 : $\vec{n}(1;1;-1)$vecteur n (1;1;-1). Le plan $(ABC)$(ABC) a pour équation $x+y-z=0$x+y-z=0.

   On teste $D$D : $2+3-5=0$2+3-5=0, il appartient au plan. Pour $D^{\prime }$D' : $2+3-4=1\ne 0$2+3-4=1≠0. Cette méthode est utile quand on teste plusieurs points : on calcule l'équation une seule fois.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Quatre points sont coplanaires si l'un des vecteurs formés est combinaison des deux autres, ou si le quatrième point vérifie l'équation du plan des trois premiers. Le tabouret ne boite pas parce que trois points définissent toujours un plan. J'ouvre sur l'impression 3D et la modélisation, où les surfaces sont découpées en triangles, toujours plans, plutôt qu'en quadrilatères.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier de vérifier la troisième équation après avoir trouvé α et β.
• Ne pas vérifier que A, B, C sont non alignés.
• Confondre coplanaires et alignés.

Revoir les notions

• Géométrie dans l'espace (vecteurs) (Terminale spé maths) →
• Droites et plans dans l'espace (Terminale spé maths) →

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