Démontrez $1+q+…+qⁿ⁻¹=(qⁿ-1)/(q-1)$.

En notant $S$ la somme, $qS-S=qⁿ-1$ (les termes intermédiaires s'annulent), d'où $S=(qⁿ-1)/(q-1)$ pour $q≠1$.

Question de mathsMathsSuites et récurrence

Combien rapporte une épargne alimentée chaque année ?

Q: Combien verser chaque année pour avoir 30 000 € en 18 ans ?

$V×(1,03¹⁸-1)/0,03=30 000$, avec $(1,03¹⁸-1)/0,03≈23,41$ : $V≈1 281$ €.

Q: Quel est le capital après 40 ans ?

$1 200×(1,03⁴⁰-1)/0,03≈90 482$ € pour 48 000 € versés.

Q: Comment vérifier la formule sur les deux premières années ?

Après un an : 1 200 €. Après deux ans : $1 200×1,03+1 200=2 436$ €. La formule donne $1 200×(1,03²-1)/0,03=1 200×2,03=2 436$ €.

En versant 1 200 € par an à 3 % pendant 18 ans, on obtient 1 200 × (1,03¹⁸ − 1)/0,03 ≈ 28 097 €, dont 21 600 € versés : la somme des termes d'une suite géométrique mesure l'effet des intérêts composés.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

À ma naissance, mes grands-parents ont ouvert un livret sur lequel ils versent chaque année la même somme. Je me suis demandé combien il y aurait à mes 18 ans, et quelle part viendrait des intérêts. La formule de la somme d'une suite géométrique m'a permis de répondre sans faire le calcul année par année.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une épargne par une somme de termes d'une suite géométrique, et distinguer la part des versements de celle des intérêts.

Mathématiques

Somme des termes d'une suite géométrique $1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ 1+q+…+qⁿ⁻¹=(qⁿ-1)/(q-1) (première)
Suites arithmético-géométriques $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ uₙ₊₁=auₙ+b (terminale)
Pourcentages et coefficients multiplicateurs (première)
Raisonnement par récurrence (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un livret alimenté chaque année
1,5 min
On verse 1 200 € à la fin de chaque année sur un livret à 3 %, pendant 18 ans. Problématique : quel est le capital au bout de 18 ans, et quelle part vient des intérêts ?
2. Suivre chaque versement
3,5 min
Chaque versement grossit indépendamment. Le versement de la fin de la première année reste placé 17 ans : il devient $1200 \times 1, 0 3^{17}$ 1 200×1,03¹⁷. Celui de la dernière année n'a pas le temps de rapporter : il reste $1200$ 1 200.
En les additionnant à la fin de la 18ᵉ année : $S = 1200 (1 + 1, 03 + \dots + 1, 0 3^{17}) = 1200 \times \frac{1 , 0 3 ^{18} - 1}{0 , 03} \approx 28097$ S=1 200(1+1,03+…+1,03¹⁷)=1 200×(1,03¹⁸-1)/0,03≈28 097 €.
On peut aussi écrire $S_{n + 1} = 1, 03 S_{n} + 1200$ Sₙ₊₁=1,03 Sₙ+1 200 : une suite arithmético-géométrique, qui redonne la même formule.
3. Versements et intérêts
3,5 min
Les versements totalisent $18 \times 1200 = 21600$ 18×1 200=21 600 € : les intérêts représentent environ 6 500 €, soit 23 % du capital final.
L'effet des intérêts composés grandit avec la durée : sur 40 ans, avec les mêmes versements, le capital dépasse 90 000 € pour 48 000 € versés. Les derniers versements rapportent peu, les premiers beaucoup : commencer tôt compte plus que verser beaucoup.
4. Conclusion
1,5 min
Une épargne régulière se calcule avec la somme des termes d'une suite géométrique : 28 097 € après 18 ans de versements de 1 200 € à 3 %. Le calcul montre que les intérêts composés récompensent surtout la durée. J'ouvre sur l'inflation, qui réduit le pouvoir d'achat de ce capital et qu'il faudrait déduire du taux.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

S = 1200 (1 + 1, 03 + 1, 0 3^{2} + \dots + 1, 0 3^{17}) = 1200 \times \frac{1 , 0 3 ^{18} - 1}{1 , 03 - 1} \approx 28097 euros S=1 200 bigl(1+1,03+1,03²+\dots+1,03¹⁷bigr)=1 200\times(1,03¹⁸-1)/(1,03-1)\approx28 097 euros S_{n + 1} = 1, 03 S_{n} + 1200 vers \overset{e}{ˊ} : 18 \times 1200 = 21600 euros Sₙ₊₁=1,03 Sₙ+1 200 versé : 18\times1 200=21 600 euros

Conclusion : la réponse à la question

Le capital d'une épargne alimentée régulièrement est une somme de termes géométriques, que la formule $\frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ (qⁿ-1)/(q-1) calcule en une ligne. Sur 18 ans à 3 %, près d'un quart du capital vient des intérêts, et cette part augmente fortement avec la durée.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez

1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

1+q+…+qⁿ⁻¹=(qⁿ-1)/(q-1).

En notant $S$ S la somme, $q S - S = q^{n} - 1$ qS-S=qⁿ-1 (les termes intermédiaires s'annulent), d'où $S = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ S=(qⁿ-1)/(q-1) pour $q \neq = 1$ q≠1.

Et si les versements ont lieu en début d'année ?

Chaque versement gagne une année d'intérêts de plus : le capital est multiplié par 1,03, environ 28 940 €.

Combien verser chaque année pour avoir 30 000 € en 18 ans ?

$V \times \frac{1 , 0 3 ^{18} - 1}{0 , 03} = 30000$ V×(1,03¹⁸-1)/0,03=30 000, avec $\frac{1 , 0 3 ^{18} - 1}{0 , 03} \approx 23, 41$ (1,03¹⁸-1)/0,03≈23,41 : $V \approx 1281$ V≈1 281 €.

Quel est le capital après 40 ans ?

$1200 \times \frac{1 , 0 3 ^{40} - 1}{0 , 03} \approx 90482$ 1 200×(1,03⁴⁰-1)/0,03≈90 482 € pour 48 000 € versés.

Quel est le lien avec l'emprunt immobilier ?

C'est le même calcul vu de l'autre côté : l'emprunteur rembourse des mensualités qui, capitalisées, égalent le capital emprunté capitalisé. Les mêmes sommes géométriques apparaissent.

Comment vérifier la formule sur les deux premières années ?

Après un an : 1 200 €. Après deux ans : $1200 \times 1, 03 + 1200 = 2436$ 1 200×1,03+1 200=2 436 €. La formule donne $1200 \times \frac{1 , 0 3 ^{2} - 1}{0 , 03} = 1200 \times 2, 03 = 2436$ 1 200×(1,03²-1)/0,03=1 200×2,03=2 436 €.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier de préciser si les versements sont en début ou en fin d'année.
Compter 18 ou 19 termes dans la somme sans justification.
Confondre intérêts simples et intérêts composés.

Revoir les notions

Autres questions : suites et récurrence

Toutes les questions de maths →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →