Comment Ératosthène a-t-il mesuré la circonférence de la Terre il y a 2 200 ans ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai été fasciné d'apprendre qu'un savant grec avait mesuré la Terre avec un bâton, une ombre et un chameau. Je voulais comprendre précisément le raisonnement, et j'ai découvert qu'il repose sur une propriété simple : la proportionnalité entre un arc de cercle et son angle au centre.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la proportionnalité entre arc et angle (longueur d'arc en radians) et des angles alternes-internes pour une mesure indirecte historique.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : l'expérience

   1,5 min

   Au solstice d'été, à midi, à Syène (Assouan), le soleil éclaire le fond d'un puits : il est au zénith. Au même moment, à Alexandrie, plus au nord, un bâton vertical projette une ombre : les rayons font un angle de 7,2° avec la verticale. Problématique : comment en déduire la circonférence de la Terre ?

2. 2. Le raisonnement géométrique

   3,5 min

   Hypothèses : la Terre est une sphère, le Soleil est si loin que ses rayons arrivent parallèles. Les verticales de Syène et d'Alexandrie passent par le centre de la Terre.

   Les rayons étant parallèles, l'angle entre le rayon et la verticale d'Alexandrie (7,2°) est égal à l'angle au centre entre les deux villes (angles alternes-internes). Cet angle représente $\frac{7,2}{360}=\frac{1}{50}$7,2/360=1/50 du tour complet.

3. 3. Le calcul et sa précision

   3,5 min

   L'arc entre les deux villes mesure environ 5 000 stades. Par proportionnalité, la circonférence vaut $50\times 5000=250000$50×5 000=250 000 stades. En radians : $\theta =\frac{\pi }{25}$θ=π/25, et $\text{arc}=R\theta$arc =Rθ donne $R=\frac{5000\times 25}{\pi }$R=(5 000×25)/π stades.

   La valeur du stade utilisé est incertaine : selon les estimations (157 m à 185 m), on obtient entre 39 000 et 46 000 km. La circonférence réelle est d'environ 40 000 km : l'ordre de grandeur est remarquable pour une méthode aussi simple. Les deux villes ne sont pas exactement sur le même méridien, ce qui introduit une autre erreur.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Ératosthène a mesuré la Terre en exploitant la proportionnalité entre un arc et son angle au centre : un angle de $\frac{1}{50}$1/50 de tour pour 5 000 stades donne 250 000 stades. Les hypothèses (Terre sphérique, rayons parallèles) et l'incertitude sur le stade font partie de l'analyse. J'ouvre sur les mesures modernes par satellite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier d'énoncer les hypothèses du modèle.
• Donner un résultat en km précis sans parler de l'incertitude sur le stade.
• Confondre l'angle au centre et l'angle de l'ombre sans justification.

Revoir les notions

• Trigonométrie (Première spé maths) →

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