Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Comment mesurer la hauteur d'un bâtiment sans pouvoir s'approcher de sa base ?

Q: Pourquoi $tan30°=1/sqrt3$ ?

$tan30°=sin30°/cos30°=(1/2)/(sqrt3/2)=1/sqrt3$.

Q: Démontrez la formule générale.

$h=xtanβ=(x+d)tanα$, donc $x=dtanα/(tanβ-tanα)$ et $h=dtanαtanβ/(tanβ-tanα)$.

Q: Pourquoi rationaliser le dénominateur ?

Pour obtenir une expression exacte plus lisible, $10(sqrt3+1)$, et calculable de tête avec $sqrt3≈1,73$.

En visant le sommet sous 30° puis sous 45° après avoir avancé de 20 m, la trigonométrie donne une hauteur de 10(√3 + 1) ≈ 27,3 m, sans connaître la distance à la base.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sortie scolaire, notre professeur nous a demandé d'estimer la hauteur d'une église entourée d'une grille, impossible à approcher. Avec un simple rapporteur et un mètre ruban, nous y sommes parvenus grâce à la trigonométrie. J'ai voulu refaire le calcul de manière générale et comprendre la méthode des géomètres.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre un problème concret de mesure indirecte en combinant deux triangles rectangles et les valeurs remarquables de la trigonométrie.

Mathématiques

Trigonométrie du triangle rectangle : tangente d'un angle (collège)
Valeurs remarquables de sinus et cosinus (première)
Résolution d'équations, expressions avec radicaux (seconde)
Formule d'Al-Kashi (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une base inaccessible
1,5 min
Si l'on connaissait la distance $x$ x jusqu'au pied du bâtiment, une seule visée suffirait : $h = x tan α$ h=xtanα. Mais on ne peut pas mesurer $x$ x. Problématique : comment déterminer la hauteur avec deux visées et une distance mesurable ?
2. Deux visées, deux équations
3,5 min
D'un premier point, on vise le sommet sous un angle de 30° ; on avance de $d = 20$ d=20 m vers le bâtiment et on le vise sous 45°. Avec $x$ x la distance (inconnue) du second point à la base : $h = x tan 45° = x$ h=xtan45°=x et $h = (x + 20) tan 30° = \frac{x + 20}{3}$ h=(x+20)tan30°=(x+20)/sqrt3.
On a donc deux équations et deux inconnues, $h$ h et $x$ x. On égalise : $x 3 = x + 20$ xsqrt3=x+20, soit $x (3 - 1) = 20$ x(sqrt3-1)=20.
3. Résoudre et interpréter
3,5 min
$x = \frac{20}{3 - 1} = \frac{20 ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = 10 (3 + 1) \approx 27, 3$ x=20/(sqrt3-1)=(20(sqrt3+1))/((sqrt3-1)(sqrt3+1))=10(sqrt3+1)≈27,3 m, et $h = x \approx 27, 3$ h=x≈27,3 m (en ajoutant la hauteur des yeux de l'observateur).
Formule générale : $h = \frac{d t a n α t a n β}{t a n β - t a n α}$ h=dtanαtanβ/(tanβ-tanα). Elle montre une limite : si les deux angles sont proches, le dénominateur est petit et une petite erreur de mesure entraîne une grosse erreur sur la hauteur. Il faut donc des visées assez différentes.
4. Conclusion
1,5 min
On mesure une hauteur inaccessible avec deux visées depuis deux points alignés : deux triangles rectangles donnent un système dont la solution est $10 (3 + 1) \approx 27, 3$ 10(sqrt3+1)≈27,3 m dans notre exemple. C'est le principe de la triangulation, utilisée par les géomètres et les astronomes. J'ouvre sur la mesure de la distance Terre-Lune par la même méthode.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

h = x tan 4 5^{\circ} = x h = (x + 20) tan 3 0^{\circ} = \frac{x + 20}{3} h=xtan45°=x h=(x+20)tan30°=(x+20)/sqrt3 x 3 = x + 20 ⟺ x = \frac{20}{3 - 1} = 10 (3 + 1) \approx 27, 3 m xsqrt3=x+20\Leftrightarrow x=20/(sqrt3-1)=10(sqrt3+1)\approx27,3 m h = \frac{d tan α tan β}{tan β - tan α} h=(d tanα tanβ)/(tanβ-tanα)

Conclusion : la réponse à la question

Deux visées et une distance mesurée suffisent : en écrivant la tangente dans deux triangles rectangles, on obtient un système qui donne la hauteur sans connaître la distance au pied du bâtiment. La méthode est sensible aux erreurs si les angles sont proches.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi

tan 30° = \frac{1}{3}

tan30°=1/sqrt3 ?

$tan 30° = \frac{s i n 30°}{c o s 30°} = \frac{1/2}{3 /2} = \frac{1}{3}$ tan30°=sin30°/cos30°=(1/2)/(sqrt3/2)=1/sqrt3.

Démontrez la formule générale.

$h = x tan β = (x + d) tan α$ h=xtanβ=(x+d)tanα, donc $x = \frac{d t a n α}{t a n β - t a n α}$ x=dtanα/(tanβ-tanα) et $h = \frac{d t a n α t a n β}{t a n β - t a n α}$ h=dtanαtanβ/(tanβ-tanα).

Que se passe-t-il si l'observateur mesure 1,6 m ?

Les angles sont mesurés depuis ses yeux : on ajoute 1,6 m au résultat, soit environ 28,9 m.

Pourquoi rationaliser le dénominateur ?

Pour obtenir une expression exacte plus lisible, $10 (3 + 1)$ 10(sqrt3+1), et calculable de tête avec $3 \approx 1, 73$ sqrt3≈1,73.

Comment utiliser Al-Kashi si les deux points ne sont pas alignés avec la base ?

On calcule une distance dans le triangle formé par les deux points et le sommet grâce à Al-Kashi ou à la loi des sinus, puis on revient au triangle rectangle.

Comment présenter cette méthode à un jury non scientifique ?

Avec un schéma au tableau : le bâtiment, les deux points d'observation et les deux angles. J'explique que chaque visée donne une relation entre la hauteur et la distance, et qu'avec deux visées on a assez d'informations pour éliminer la distance inconnue. Le calcul vient ensuite, en deux lignes.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la hauteur des yeux de l'observateur.
Confondre sinus et tangente dans le triangle rectangle.
Choisir deux angles trop proches, qui rendent le calcul instable.

Revoir les notions

Autres questions : trigonométrie et phénomènes périodiques

Toutes les questions de maths →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →