Pourquoi $1-cos x≥0$ ?

Parce que $cos x≤1$ pour tout réel $x$.

Montrez que $(sin x)/x$ est compris entre $1-x²/6$ et 1 pour $x>0$.

On divise l'encadrement $x-x³/6≤sin x≤ x$ par $x>0$. Le théorème des gendarmes redonne alors $(sin x)/x→1$ quand $x→0⁺$.

Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Pourquoi peut-on remplacer sin x par x quand l'angle est petit ?

Q: Quelle approximation pour $cos x$ près de 0 ?

$cos x≈1-x²/2$, que l'on peut aussi démontrer par une étude de fonction : $cos x≥1-x²/2$.

Q: Jusqu'à quel angle l'erreur relative reste-t-elle sous 1 % ?

Il suffit de $x²/6≤0,01$, soit $x≤√(0,06)≈0,24$ rad, environ 14°.

Q: Encadrez $sin0,5$.

$0,5-0,125/6≈0,479 2≤sin0,5≤0,5$ ; la valeur exacte est environ $0,479 4$.

Q: Quel rôle joue cette approximation en physique ?

Elle transforme l'équation du pendule $θ''=-frac gℓsinθ$, que l'on ne sait pas résoudre au lycée, en $θ''=-frac gℓθ$, dont les solutions sont des cosinus. On obtient la période $2π√(fracℓ g)$, indépendante de l'amplitude tant que l'angle reste petit.

La limite sin x / x → 1 et l'encadrement x − x³/6 ≤ sin x ≤ x (pour x ≥ 0), démontrés par des études de fonctions, justifient l'approximation sin x ≈ x et mesurent l'erreur : moins de 0,02 % pour 0,1 rad.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En physique, on étudie le pendule en remplaçant $sin θ$ sinθ par $θ$ θ « pour les petits angles ». Je trouvais cette approximation peu rigoureuse. J'ai voulu la justifier mathématiquement et surtout savoir jusqu'à quel angle elle est fiable.

L'enjeu et les notions du programme

Justifier une approximation locale par la tangente puis la quantifier par un encadrement démontré avec la dérivation.

Mathématiques

Limite $\frac{s i n x}{x} \to 1$ (sin x)/x→1, nombre dérivé de sin en 0 (terminale)
Tangente et approximation affine (première)
Étude de fonctions par la dérivée, inégalités (terminale)
Fonctions sinus et cosinus, dérivées (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une approximation de physicien
1,5 min
Le pendule obéit à une équation contenant $sin θ$ sinθ, difficile à résoudre ; avec $sin θ \approx θ$ sinθ≈θ, elle devient simple. Problématique : pourquoi est-ce légitime, et avec quelle précision ?
2. La tangente en 0
3 min
La tangente à la courbe de $sin$ sin en 0 a pour équation $y = sin (0) + sin^{'} (0) x = x$ y=sin(0)+sin'(0)x=x. Près de 0, la courbe et sa tangente se confondent : $\frac{s i n x}{x} \to 1$ (sin x)/x→1.
Interprétation géométrique : sur le cercle de rayon 1, pour un petit angle, la demi-corde $sin x$ sin x et l'arc $x$ x ont presque la même longueur. Cela n'est vrai qu'en radians.
3. Un encadrement démontré
4 min
Pour $x \geq 0$ x≥0 : $f (x) = x - sin x$ f(x)=x-sin x a pour dérivée $1 - cos x \geq 0$ 1-cos x≥0 et $f (0) = 0$ f(0)=0, donc $sin x \leq x$ sin x≤ x.
Puis $g (x) = sin x - x + \frac{x ^{3}}{6}$ g(x)=sin x-x+x³/6 : $g^{'} (x) = cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2}$ g'(x)=cos x-1+x²/2, $g^{''} (x) = x - sin x \geq 0$ g''(x)=x-sin x≥0. Donc $g^{'}$ g' est croissante avec $g^{'} (0) = 0$ g'(0)=0, donc $g^{'} \geq 0$ g'≥0, donc $g$ g croissante avec $g (0) = 0$ g(0)=0 : $sin x \geq x - \frac{x ^{3}}{6}$ sin x≥ x-x³/6.
D'où $0 \leq x - sin x \leq \frac{x ^{3}}{6}$ 0≤ x-sin xlex³/6. Pour $x = 0, 1$ x=0,1 rad (environ 5,7°), l'erreur est au plus $1, 7 \times 1 0^{- 4}$ 1,7×10⁻⁴, soit 0,17 % de $x$ x. Pour $x = 0, 5$ x=0,5 rad (environ 29°), elle peut atteindre 4 %.
4. Conclusion
1,5 min
On remplace $sin x$ sin x par $x$ x parce que c'est la tangente en 0, et l'encadrement $x - \frac{x ^{3}}{6} \leq sin x \leq x$ x-x³/6≤sin x≤ x donne une erreur relative inférieure à $\frac{x ^{2}}{6}$ x²/6. Pour le pendule, l'approximation est excellente jusqu'à une dizaine de degrés. J'ouvre sur les calculatrices, qui utilisent des polynômes de ce type pour calculer le sinus.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

sin x \approx x (tangente en 0) x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1 sin x\approx x ( tangente en 0) lim_x\to0(sin x)/x=1 0 \leq x - sin x \leq \frac{x ^{3}}{6} (x \geq 0) 0\leq x-sin xlex³/6 (x\geq0) x = 0, 1 : 0, 099833 \leq sin 0, 1 \leq 0, 1 x=0,1 : 0,099 833\leqsin0,1\leq0,1

Conclusion : la réponse à la question

L'approximation $sin x \approx x$ sin x≈ x est celle de la tangente en 0 ; l'encadrement démontré par deux études de fonctions montre que l'erreur relative est inférieure à $\frac{x ^{2}}{6}$ x²/6, négligeable pour les petits angles mesurés en radians.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi

1 - cos x \geq 0

1-cos x≥0 ?

Parce que $cos x \leq 1$ cos x≤1 pour tout réel $x$ x.

Quelle approximation pour

cos x

cos x près de 0 ?

$cos x \approx 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ cos x≈1-x²/2, que l'on peut aussi démontrer par une étude de fonction : $cos x \geq 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ cos x≥1-x²/2.

Jusqu'à quel angle l'erreur relative reste-t-elle sous 1 % ?

Il suffit de $\frac{x ^{2}}{6} \leq 0, 01$ x²/6≤0,01, soit $x \leq 0, 06 \approx 0, 24$ x≤√(0,06)≈0,24 rad, environ 14°.

Quel est l'effet sur la période du pendule ?

Avec l'approximation, la période ne dépend pas de l'amplitude ; en réalité, elle augmente légèrement avec l'amplitude, d'environ 0,2 % pour 10°.

Encadrez

sin 0, 5

sin0,5.

$0, 5 - \frac{0 , 125}{6} \approx 0, 4792 \leq sin 0, 5 \leq 0, 5$ 0,5-0,125/6≈0,479 2≤sin0,5≤0,5 ; la valeur exacte est environ $0, 4794$ 0,479 4.

Quel rôle joue cette approximation en physique ?

Elle transforme l'équation du pendule $θ^{''} = - \frac{g}{ℓ} sin θ$ θ''=-frac gℓsinθ, que l'on ne sait pas résoudre au lycée, en $θ^{''} = - \frac{g}{ℓ} θ$ θ''=-frac gℓθ, dont les solutions sont des cosinus. On obtient la période $2 π \frac{ℓ}{g}$ 2π√(fracℓ g), indépendante de l'amplitude tant que l'angle reste petit.

Montrez que

\frac{s i n x}{x}

(sin x)/x est compris entre

1 - \frac{x ^{2}}{6}

1-x²/6 et 1 pour

x > 0

x>0.

On divise l'encadrement $x - \frac{x ^{3}}{6} \leq sin x \leq x$ x-x³/6≤sin x≤ x par $x > 0$ x>0. Le théorème des gendarmes redonne alors $\frac{s i n x}{x} \to 1$ (sin x)/x→1 quand $x \to 0^{+}$ x→0⁺.

Les pièges qui coûtent des points

Appliquer l'approximation en degrés.
Utiliser l'approximation sans quantifier l'erreur.
Oublier que l'encadrement démontré vaut pour x ≥ 0.

Revoir les notions

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