Quelle erreur commet-on avec $sin x≈ x$ pour 10° ?

Environ 0,5 % : $0,1745$ contre $0,1736$. C'est l'approximation des petits angles utilisée pour le pendule.

Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Pourquoi les mathématiciens mesurent-ils les angles en radians plutôt qu'en degrés ?

Q: Convertissez 45° et 1 radian.

$45°=fracπ4$ rad ; $1$ rad $=frac180π≈57,3°$.

Q: Justifiez géométriquement $sin x≤ x$ pour $x≥0$ petit.

Sur le cercle de rayon 1, $sin x$ est la longueur d'un segment perpendiculaire, plus courte que l'arc de longueur $x$ qui relie les mêmes niveaux.

Q: Pourquoi le tour vaut-il 2π radians ?

Parce que le périmètre d'un cercle de rayon 1 vaut $2π$.

Le radian mesure un angle par la longueur de l'arc qu'il intercepte sur un cercle de rayon 1 ; c'est la seule unité pour laquelle sin x / x tend vers 1 et la dérivée de sin est cos, sans coefficient parasite π/180.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Depuis l'école, je mesure les angles en degrés, et en première on m'a imposé les radians sans que je comprenne pourquoi. Le jour où j'ai vu que, en degrés, la dérivée du sinus ferait apparaître un facteur $\frac{π}{180}$ π/180, j'ai compris que le radian n'était pas un caprice. J'ai voulu expliquer ce qui en fait l'unité naturelle.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre la définition du radian comme longueur d'arc et son rôle dans le calcul différentiel des fonctions trigonométriques.

Mathématiques

Cercle trigonométrique, radian, longueur d'arc (première)
Cosinus et sinus d'un réel (première)
Limite $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ lim_x→0(sin x)/x=1 (terminale)
Dérivées des fonctions sinus et cosinus (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : deux unités pour un même angle
1,5 min
Le degré découpe le tour en 360 parts, un choix hérité des Babyloniens. Le radian, lui, est défini par une longueur. Problématique : qu'est-ce qui rend le radian plus naturel pour les mathématiques ?
2. Le radian, une longueur d'arc
3 min
Sur un cercle de rayon 1, un angle de $θ$ θ radians intercepte un arc de longueur $θ$ θ. Sur un cercle de rayon $R$ R, l'arc mesure $R θ$ Rθ : la formule est simple parce que l'unité est définie par l'arc lui-même. En degrés, elle devient $\frac{π R α}{180}$ (π Rα)/180.
Le tour complet vaut $2 π$ 2π radians, et $1$ 1 radian vaut environ $57, 3°$ 57,3°. Le radian est un rapport de deux longueurs (arc sur rayon) : c'est un nombre sans dimension.
3. La raison profonde : le calcul différentiel
4 min
En radians, $\frac{s i n x}{x} \to 1$ (sin x)/x→1 quand $x \to 0$ x→0 : pour un petit angle, l'arc et la corde ont presque la même longueur. On en déduit $sin^{'} (0) = 1$ sin'(0)=1, puis $sin^{'} = cos$ sin'=cos et $cos^{'} = - sin$ cos'=-sin.
En degrés, posons $s (α) = sin (\frac{π α}{180})$ s(α)=sin(πα/180). Alors $s^{'} (α) = \frac{π}{180} cos (\frac{π α}{180})$ s'(α)=π/180cos(πα/180) : un coefficient d'environ $0, 017$ 0,017 apparaît à chaque dérivation. Les équations de la physique (oscillateurs, ondes) seraient encombrées de ce facteur. Exemple au tableau : $sin (10°) \approx 0, 1736$ sin(10°)≈0,1736 et $10° \approx 0, 1745$ 10°≈0,1745 rad : en radians, $sin x \approx x$ sin x≈ x ; en degrés, $sin α \approx 0, 017 α$ sinα≈0,017 α.
4. Conclusion
1,5 min
Les mathématiciens utilisent le radian parce qu'il est défini par la géométrie du cercle (un angle est une longueur d'arc) et qu'il rend les formules de dérivation des fonctions trigonométriques sans coefficient. Le degré reste pratique pour la vie courante. J'ouvre sur l'analogie avec le nombre $e$ e, choisi pour que la dérivée de l'exponentielle n'ait pas non plus de coefficient.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

arc = R θ (radians) arc = \frac{π R α}{180} (degr \overset{e}{ˊ} s) arc =R θ ( radians ) arc =(π R α)/180 ( degrés ) x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1 \Rightarrow sin^{'} = cos \frac{d}{d α} sin (\frac{π α}{180}) = \frac{π}{180} cos (\frac{π α}{180}) lim_x\to0(sin x)/x=1 \Rightarrow sin'=cos d/dαsin (πα/180)=π/180cos (πα/180) sin (0, 1745) \approx 0, 1736 sin(0,1745)\approx0,1736

Conclusion : la réponse à la question

Le radian est l'unité naturelle des angles car il mesure directement la longueur d'arc et rend $sin^{'} = cos$ sin'=cos exact. Mesurer en degrés introduirait le facteur $\frac{π}{180}$ fracπ180 dans toutes les formules de l'analyse.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Convertissez 45° et 1 radian.

$45° = \frac{π}{4}$ 45°=fracπ4 rad ; $1$ 1 rad $= \frac{180}{π} \approx 57, 3°$ =frac180π≈57,3°.

Justifiez géométriquement

sin x \leq x

sin x≤ x pour

x \geq 0

x≥0 petit.

Sur le cercle de rayon 1, $sin x$ sin x est la longueur d'un segment perpendiculaire, plus courte que l'arc de longueur $x$ x qui relie les mêmes niveaux.

Pourquoi le tour vaut-il 2π radians ?

Parce que le périmètre d'un cercle de rayon 1 vaut $2 π$ 2π.

Quelle erreur commet-on avec

sin x \approx x

sin x≈ x pour 10° ?

Environ 0,5 % : $0, 1745$ 0,1745 contre $0, 1736$ 0,1736. C'est l'approximation des petits angles utilisée pour le pendule.

Existe-t-il d'autres unités d'angle ?

Le grade (400 par tour), utilisé en topographie, ou le tour lui-même. Aucune ne simplifie les dérivées comme le radian.

Les pièges qui coûtent des points

Dériver sin x en degrés sans facteur.
Dire que le radian est « plus précis » : c'est une question de naturel, pas de précision.
Confondre radian et longueur d'arc sur un cercle de rayon quelconque.

Revoir les notions

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