Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Comment modéliser la durée du jour au fil de l'année ?

Q: Pourquoi ω = 2π/365 ?

Pour que $L(t+365)=L(t)$ : il faut $ω×365=2π$, la période du cosinus.

Q: Combien vaut L au 21 mars (jour 80) ?

$(2π(80-172))/365≈-1,58≈-fracπ2$, donc $L≈12$ h : jour et nuit égaux, c'est l'équinoxe.

Q: Quelle est la durée du jour prévue le 21 décembre ?

Au jour 355, $(2π(355-172))/365≈π$, donc $L≈12-4=8$ h : c'est le minimum, au solstice d'hiver.

La durée du jour à Paris varie d'environ 8 h à 16 h sur une période de 365 jours ; le modèle L(t) = 12 + 4 cos(2π(t − 172)/365) traduit amplitude, période et phase, et sa dérivée indique quand les jours rallongent le plus vite.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai remarqué qu'en mars, les jours rallongent très vite, alors qu'en juin on ne voit presque plus de différence d'un jour à l'autre. J'ai voulu modéliser ce phénomène avec une fonction trigonométrique et comprendre, grâce à la dérivée, pourquoi la variation est maximale aux équinoxes.

L'enjeu et les notions du programme

Construire un modèle sinusoïdal à partir de données (amplitude, période, phase) et l'exploiter avec la dérivation.

Mathématiques

Fonctions cosinus et sinus, périodicité (terminale)
Dérivée de $x \mapsto cos (a x + b)$ x↦cos(ax+b) (terminale)
Variations et extremums (première)
Modélisation d'un phénomène (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : des jours qui varient
1,5 min
À Paris, le jour dure environ 16 h au solstice d'été (vers le 21 juin) et 8 h au solstice d'hiver. Le phénomène se répète chaque année. Problématique : quelle fonction décrit cette variation, et que nous apprend-elle ?
2. Construire le modèle
3,5 min
On cherche $L (t) = C + A cos (ω (t - t_{0}))$ L(t)=C+Acos(ω(t-t₀)), avec $t$ t le numéro du jour. La valeur moyenne est $C = \frac{16 + 8}{2} = 12$ C=(16+8)/2=12 h ; l'amplitude $A = \frac{16 - 8}{2} = 4$ A=(16-8)/2=4 h ; la période de 365 jours donne $ω = \frac{2 π}{365}$ ω=2π/365 ; le maximum au jour 172 (21 juin) donne $t_{0} = 172$ t₀=172.
Modèle : $L (t) = 12 + 4 cos (\frac{2 π ( t - 172 )}{365})$ L(t)=12+4cos((2π(t-172))/365). Vérification : $L (172) = 16$ L(172)=16 et $L (172 + 182, 5) = 8$ L(172+182,5)=8.
3. Exploiter la dérivée
3,5 min
$L^{'} (t) = - \frac{8 π}{365} sin (\frac{2 π ( t - 172 )}{365})$ L'(t)=-8π/365sin((2π(t-172))/365). Elle est nulle aux solstices (maximum et minimum de $L$ L) et maximale en valeur absolue quand le sinus vaut $\pm 1$ ±1, c'est-à-dire un quart de période avant ou après, aux équinoxes.
La variation maximale vaut $\frac{8 π}{365} \approx 0, 069$ 8π/365≈0,069 h par jour, soit environ 4 minutes par jour en mars et en septembre. Au solstice, la variation est presque nulle : c'est ce que l'on observe.
4. Conclusion
1,5 min
Un modèle $C + A cos (ω (t - t_{0}))$ C+Acos(ω(t-t₀)), construit avec la moyenne, l'amplitude, la période et la date du maximum, décrit bien la durée du jour. Sa dérivée explique pourquoi les jours rallongent vite aux équinoxes et presque pas aux solstices. J'ouvre sur les limites du modèle : la courbe réelle n'est pas exactement sinusoïdale, et l'amplitude dépend de la latitude.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

L (t) = 12 + 4 cos (\frac{2 π ( t - 172 )}{365}) C = \frac{16 + 8}{2}, A = \frac{16 - 8}{2}, ω = \frac{2 π}{365} L(t)=12+4cos ((2π (t-172))/365) C=(16+8)/2, A=(16-8)/2, ω=2π/365 L^{'} (t) = - \frac{8 π}{365} sin (\frac{2 π ( t - 172 )}{365}), ∣ L^{'} (t) ∣ \leq \frac{8 π}{365} \approx 0, 069 h/jour L'(t)=-8π/365sin ((2π (t-172))/365), |L'(t)|\leq8π/365\approx0,069 h/jour

Conclusion : la réponse à la question

La durée du jour se modélise par une fonction sinusoïdale dont on lit les paramètres sur les données. La dérivée de ce modèle montre que la variation est maximale aux équinoxes (environ 4 minutes par jour) et nulle aux solstices.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi ω = 2π/365 ?

Pour que $L (t + 365) = L (t)$ L(t+365)=L(t) : il faut $ω \times 365 = 2 π$ ω×365=2π, la période du cosinus.

Combien vaut L au 21 mars (jour 80) ?

$\frac{2 π ( 80 - 172 )}{365} \approx - 1, 58 \approx - \frac{π}{2}$ (2π(80-172))/365≈-1,58≈-fracπ2, donc $L \approx 12$ L≈12 h : jour et nuit égaux, c'est l'équinoxe.

Convertissez 0,069 h en minutes.

0,069 × 60 ≈ 4,1 minutes.

Comment le modèle change-t-il à l'équateur ?

L'amplitude devient presque nulle : le jour dure environ 12 h toute l'année.

Comment ajuster le modèle à des données réelles ?

On compare le modèle aux durées relevées et on ajuste les paramètres (moyenne, amplitude, phase) pour réduire les écarts, par exemple avec un tableur.

Comment présenter le modèle à l'oral ?

Je dessine la courbe sur une année avec les quatre repères (solstices et équinoxes), puis j'explique d'où vient chaque paramètre : 12 h pour la moyenne, 4 h pour l'amplitude, 365 jours pour la période et le 21 juin pour le maximum. Le jury voit que le modèle se construit à partir de quatre informations seulement.

Quelle est la durée du jour prévue le 21 décembre ?

Au jour 355, $\frac{2 π ( 355 - 172 )}{365} \approx π$ (2π(355-172))/365≈π, donc $L \approx 12 - 4 = 8$ L≈12-4=8 h : c'est le minimum, au solstice d'hiver.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre amplitude et écart entre maximum et minimum (l'amplitude en est la moitié).
Oublier le facteur ω en dérivant.
Présenter le modèle comme exact.

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