Pourquoi une fonction continue ne peut-elle pas « sauter » une valeur ?
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence de solutions d'équations qu'on ne sait pas résoudre, comme x³ + x − 1 = 0, et la dichotomie permet de les approcher.
Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.
Pourquoi cette question : un modèle d'introduction
Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.
En randonnée, si je monte de 800 m à 1 500 m d'altitude, je suis forcément passé par 1 200 m. Cette évidence m'a intrigué quand j'ai découvert qu'en mathématiques elle porte un nom et qu'elle permet d'affirmer qu'une équation a une solution sans savoir la calculer. C'est cette idée que je veux expliquer.
L'enjeu et les notions du programme
Démontrer l'existence d'une solution sans la calculer, puis l'approcher : continuité, théorème des valeurs intermédiaires et dichotomie.
Mathématiques
- Continuité d'une fonction sur un intervalle (terminale)
- Théorème des valeurs intermédiaires et cas strictement monotone (terminale)
- Méthode de dichotomie, algorithme en Python (terminale)
- Dérivation et sens de variation (première)
Le plan de l'exposé en 10 min
1. Introduction : de la randonnée au théorème
1,5 minJe pars de l'exemple de l'altitude, puis je montre au tableau une fonction en escalier qui, elle, « saute » des valeurs. Problématique : quelle propriété garantit qu'une fonction prend toutes les valeurs intermédiaires, et à quoi cela sert-il ?
2. Le théorème et son hypothèse essentielle
3 minThéorème : si f est continue sur [a,b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un c∈[a,b] tel que f(c)=k.
Graphiquement : on trace la courbe sans lever le crayon, elle coupe forcément toute droite horizontale y=k située entre les deux extrémités. Si f n'est pas continue, c'est faux (fonction partie entière). Si de plus f est strictement monotone, la solution est unique.
3. Une équation qu'on ne sait pas résoudre
4 minSoit f(x)=x³+x-1. On n'a pas de formule simple pour ses racines. Mais f est continue, f'(x)=3x²+1>0, donc f est strictement croissante ; f(0)=-1<0 et f(1)=1>0. L'équation f(x)=0 a donc une unique solution α∈[0,1].
On l'approche par dichotomie : on calcule f au milieu, on garde la moitié où le signe change. f(0,5)<0 donne α∈[0,5;1], f(0,75)>0 donne α∈[0,5;0,75], etc. On obtient α≈0,682. Chaque étape divise la longueur de l'intervalle par 2.
4. Conclusion
1,5 minUne fonction continue ne saute pas de valeur : c'est le théorème des valeurs intermédiaires. Il transforme une intuition en outil, qui prouve l'existence de solutions et fonde un algorithme pour les calculer. J'ouvre sur le « problème du moine » : un marcheur qui monte un jour et redescend le lendemain par le même chemin passe à la même heure au même endroit les deux jours.
Ce que j'écris au tableau
Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.
⇒ ∃! α∈[0,1], f(α)=0 dichotomie : α≈0,682
Conclusion : la réponse à la question
La continuité garantit qu'aucune valeur intermédiaire n'est sautée. Le théorème qui l'exprime permet d'affirmer qu'une équation a une solution, sa version strictement monotone qu'elle est unique, et la dichotomie de l'approcher aussi précisément qu'on le souhaite.
Les questions probables du jury
Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.
Combien d'étapes de dichotomie pour une précision de 10⁻³ ?
On part d'un intervalle de longueur 1 ; après n étapes, la longueur vaut 2⁻ⁿ. Il faut 2⁻ⁿ≤10⁻³, soit n≥10 car 2¹⁰=1 024.
Une fonction peut-elle prendre toutes les valeurs intermédiaires sans être continue ?
Oui, il existe des contre-exemples (comme sin1/x prolongée par 0 en 0), mais ils sont hors programme. Le théorème dit seulement que la continuité suffit.
Résolvez le problème du moine.
On note d₁(t) et d₂(t) la distance au pied de la montagne à l'heure t les deux jours. La fonction g=d₁-d₂ est continue, négative au départ (d₁=0) et positive à l'arrivée : elle s'annule, ce qui donne l'heure cherchée.
Pourquoi la stricte monotonie donne-t-elle l'unicité ?
Si f(c₁)=f(c₂)=k avec c₁<c₂, la stricte croissance imposerait f(c₁)<f(c₂) : contradiction.
Quelle est la limite de la dichotomie ?
Elle est lente : elle gagne un chiffre binaire par étape, soit environ une décimale toutes les 3,3 étapes. La méthode de Newton est beaucoup plus rapide quand on connaît la dérivée.
Les pièges qui coûtent des points
- Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le théorème.
- Conclure à l'unicité sans la stricte monotonie.
- Confondre l'existence de la solution (théorème) et son calcul (algorithme).
Revoir les notions
Autres questions : l'infini, les suites et les limites
Préparer l'oral, pas seulement le contenu
Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.
Méthode : traiter une question de Grand oral →