Pourquoi y a-t-il une infinité de nombres premiers ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En listant les nombres premiers, j'ai remarqué qu'ils se raréfient : 25 entre 1 et 100, mais seulement 14 entre 1 000 et 1 100. Je me suis demandé s'ils finissaient par s'arrêter. La réponse d'Euclide, vieille de plus de 2 000 ans, tient en quelques lignes et ne demande que de savoir diviser. J'ai voulu la présenter, parce qu'elle montre la force d'un raisonnement face à un ordinateur qui ne peut tester qu'un nombre fini de cas.

L'enjeu et les notions du programme

Mettre en œuvre un raisonnement par l'absurde sur les entiers et comprendre ce que signifie « infini » pour un ensemble de nombres.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : les nombres premiers se raréfient

   1,5 min

   Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Tout entier $N\ge 2$N≥2 a au moins un diviseur premier : son plus petit diviseur supérieur à 1. Problématique : la liste des nombres premiers s'arrête-t-elle ?

2. 2. La démonstration d'Euclide

   4 min

   Supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers $p_1,p_2,\dots ,p_k$p₁,p₂,…,pₖ. Posons $N=p_1\times p_2\times \cdots \times p_k+1$N=p₁× p₂×…× pₖ+1. $N\ge 2$N≥2, donc $N$N a un diviseur premier $p$p, qui est l'un des $p_i$pᵢ.

   Alors $p$p divise $N$N et divise le produit $p_1\cdots p_k$p₁… pₖ, donc il divise leur différence, qui vaut 1. Or aucun nombre premier ne divise 1 : contradiction. Il y a donc une infinité de nombres premiers.

   Le cœur est la propriété : si $p$p divise $a$a et $b$b, il divise $a-b$a-b. On l'obtient en écrivant $a=pu$a=pu, $b=pv$b=pv, d'où $a-b=p(u-v)$a-b=p(u-v).

3. 3. Une erreur fréquente et un exemple

   3 min

   On lit souvent que $N$N est lui-même premier : c'est faux. $2\times 3\times 5\times 7+1=211$2×3×5×7+1=211 est premier, $2\times 3\times 5\times 7\times 11+1=2311$2×3×5×7×11+1=2 311 aussi, mais $2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13+1=30031=59\times 509$2×3×5×7×11×13+1=30 031=59×509. La preuve dit seulement que les diviseurs premiers de $N$N sont hors de la liste : ici 59 et 509.

   En Python, on teste qu'un nombre $n$n est premier en cherchant un diviseur $d$d avec $d^2\le n$d²≤ n : si $n=ab$n=ab avec $a\le b$a≤ b, alors $a^2\le n$a²≤ n. Cette remarque divise le travail de l'ordinateur, mais il ne pourra jamais prouver l'infinité.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Il y a une infinité de nombres premiers, parce que toute liste finie en laisse échapper un : le nombre « produit plus un » a forcément un diviseur premier absent de la liste. J'ouvre sur les nombres premiers en cryptographie : on sait en fabriquer de très grands, mais retrouver les deux facteurs d'un produit de deux grands nombres premiers est très difficile, ce qui protège nos paiements en ligne.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Affirmer que $p_1\cdots p_k+1$p₁… pₖ+1 est premier.
• Oublier de justifier que N a un diviseur premier.
• Confondre « il y en a de moins en moins » et « il y en a un nombre fini ».

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Algorithmique et Python (Seconde) →

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