« Pour tout » et « il existe » : pourquoi l'ordre des mots change-t-il tout en mathématiques ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En terminale, la définition de « la suite tend vers $+\infty$+∞ » m'a paru illisible : une phrase avec « pour tout », « il existe » et « pour tout » à nouveau. Puis j'ai remarqué qu'en changeant l'ordre de deux mots, la phrase devenait fausse ou disait autre chose. J'ai voulu comprendre pourquoi les mathématiciens sont si attentifs à cet ordre, et comment on nie une telle phrase.

L'enjeu et les notions du programme

Maîtriser les quantificateurs universel et existentiel, leur ordre et leur négation, et comprendre la définition d'une limite infinie.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : deux phrases presque identiques

   1,5 min

   « Tout élève a un numéro de téléphone » et « il existe un numéro de téléphone que tout élève possède » utilisent les mêmes mots, mais la seconde dit que tous partagent le même numéro. Problématique : pourquoi l'ordre de « pour tout » et « il existe » change-t-il le sens, et comment s'en servir ?

2. 2. L'ordre des quantificateurs

   3 min

   $\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R},y>x$∀ x∈ℝ, ∃ y∈ℝ, y>x est vraie : pour chaque $x$x, le réel $y=x+1$y=x+1 convient ; $y$y dépend de $x$x.

   $\exists y\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R},y>x$∃ y∈ℝ, ∀ x∈ℝ, y>x est fausse : un tel $y$y serait plus grand que lui-même en prenant $x=y$x=y. Ici le même $y$y devrait servir pour tous les $x$x.

   Règle : dans « $\forall \exists$∀ ∃ », ce qui existe peut dépendre de ce qui précède ; dans « $\exists \forall$∃ ∀ », il est choisi une fois pour toutes.

3. 3. La définition d'une limite infinie

   3 min

   $u_n\to +\infty$uₙ→+∞ signifie : $\forall A\in \mathbb{R},\exists N,\forall n\ge N,u_n>A$∀ A∈ℝ, ∃ N, ∀ n≥ N, uₙ>A. Le rang $N$N dépend du seuil $A$A. Exemple : $u_n=n^2$uₙ=n². Pour $A>0$A>0, on prend $N$N entier supérieur à $\sqrt{A}$√A ; si $n\ge N$n≥ N, $n^2\ge N^2>A$n²≥ N²>A. Pour $A=10^6$A=10⁶, $N=1001$N=1 001 convient.

   Si l'on écrivait $\exists N,\forall A$∃ N, ∀ A, on demanderait un rang à partir duquel $u_n$uₙ dépasse tous les réels à la fois : impossible. L'ordre est la définition elle-même.

4. 4. Nier une phrase, conclusion

   2,5 min

   Nier échange $\forall$∀ et $\exists$∃ et nie la fin : « $u_n$uₙ ne tend pas vers $+\infty$+∞ » s'écrit $\exists A,\forall N,\exists n\ge N,u_n\le A$∃ A, ∀ N, ∃ n≥ N, uₙ≤ A. Pour réfuter « pour tout », un seul contre-exemple suffit ; pour réfuter « il existe », il faut un argument général.

   Conclusion : l'ordre des quantificateurs dit de quoi dépend chaque objet ; le changer change l'énoncé. J'ouvre sur la suite $u_n=n$uₙ=n si $n$n est pair et $0$0 sinon : elle n'est pas majorée, mais ne tend pas vers $+\infty$+∞.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Nier « $\forall x,P(x)$∀ x, P(x) » par « $\forall x,\text{non}P(x)$∀ x, non P(x) ».
• Choisir $N$N avant $A$A dans la définition de la limite.
• Croire qu'un exemple prouve une phrase en « pour tout ».

Revoir les notions

• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

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