Le même raisonnement marche-t-il pour $sqrt4$ ?

Non, et heureusement : $p²=4q²$ ne donne pas de contradiction, puisque $sqrt4=2/1$. La preuve utilise le fait que 2 n'est pas un carré parfait, à travers la parité.

Question de mathsMathsRaisonnement et algorithmes

Comment peut-on démontrer qu'un nombre n'est pas une fraction ?

Q: Quelle différence entre contraposée et réciproque ?

La contraposée de « $A⇒ B$ » est « non $B⇒$ non $A$ », toujours équivalente. La réciproque « $B⇒ A$ » peut être fausse.

Q: Démontrez que $log(2)$ (logarithme décimal) n'est pas rationnel.

Si $log 2=p/q$ avec $p,q>0$, alors $10^(p)=2^(q)$. Le membre de gauche est divisible par 5, pas celui de droite : contradiction.

Q: $sqrt2+1$ est-il rationnel ?

Non : s'il valait $r$ rationnel, $sqrt2=r-1$ serait rationnel.

En supposant √2 = p/q avec une fraction irréductible, on montre que p et q sont tous deux pairs : la contradiction prouve que √2 est irrationnel. C'est le modèle du raisonnement par l'absurde.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Ma calculatrice affiche $2 \approx 1, 414213562$ sqrt2≈1,414213562, et je me suis longtemps dit qu'avec plus de chiffres on finirait par trouver la fraction exacte. Quand j'ai découvert qu'on pouvait démontrer qu'aucune fraction ne convient, sans essayer les fractions une par une, j'ai été frappé : on prouve une impossibilité portant sur une infinité de cas. J'ai voulu comprendre ce raisonnement.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre le raisonnement par l'absurde et le rôle de la parité, et distinguer une approximation (aussi précise soit-elle) d'une égalité exacte.

Mathématiques

Nombres rationnels et irrationnels, fraction irréductible (seconde)
Nombres pairs et impairs, carré d'un entier (seconde)
Raisonnement par l'absurde, contraposée (vocabulaire de la logique, cycle terminal)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un problème vieux de 2 500 ans
1,5 min
La diagonale d'un carré de côté 1 mesure $2$ sqrt2 d'après le théorème de Pythagore. Les pythagoriciens pensaient que toute longueur était un rapport d'entiers. Problématique : comment prouver qu'un nombre n'est pas une fraction, alors qu'on ne peut pas tester toutes les fractions ?
2. Un lemme : le carré d'un impair est impair
2,5 min
Si $n = 2 k + 1$ n=2k+1, alors $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ n²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1 est impair. Par contraposée : si $n^{2}$ n² est pair, alors $n$ n est pair. La contraposée de « A implique B » est « non B implique non A » : elle a toujours la même valeur de vérité.
Je souligne qu'on n'a pas montré la réciproque directement : on l'obtient en transformant une implication démontrée en une autre, équivalente.
3. La démonstration par l'absurde
4 min
Supposons $2 = \frac{p}{q}$ sqrt2=p/q avec $p, q$ p,q entiers strictement positifs et la fraction irréductible. Alors $p^{2} = 2 q^{2}$ p²=2q² : $p^{2}$ p² est pair, donc $p$ p est pair d'après le lemme. Écrivons $p = 2 m$ p=2m : $4 m^{2} = 2 q^{2}$ 4m²=2q², donc $q^{2} = 2 m^{2}$ q²=2m². Ainsi $q^{2}$ q² est pair, donc $q$ q est pair.
$p$ p et $q$ q sont donc divisibles par 2, ce qui contredit l'irréductibilité. L'hypothèse de départ est fausse : $2$ sqrt2 n'est pas rationnel.
Le schéma est général : on suppose le contraire de ce qu'on veut prouver, on en déduit correctement une contradiction, donc la supposition est fausse. Le même raisonnement montre que $3$ sqrt3 est irrationnel, et qu'il n'existe pas de plus grand nombre entier.
4. Conclusion
2 min
On démontre qu'un nombre n'est pas une fraction en supposant qu'il en est une et en aboutissant à une contradiction. Aucune calculatrice ne peut le faire : elle n'affiche qu'un nombre fini de décimales, donc toujours un nombre décimal. J'ouvre sur le fait que les fractions $\frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}$ 7/5,17/12,41/29 approchent $2$ sqrt2 de mieux en mieux, sans jamais l'atteindre.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

n = 2 k + 1 \Rightarrow n^{2} = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1 (impair) n=2k+1 \Rightarrow n²=2(2k²+2k)+1 (impair) 2 = \frac{p}{q} \Rightarrow p^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow p = 2 m \Rightarrow q^{2} = 2 m^{2} \Rightarrow q pair sqrt2=p/q \Rightarrow p²=2q² \Rightarrow p=2m \Rightarrow q²=2m² \Rightarrow q pair contradiction avec \frac{p}{q} irr \overset{e}{ˊ} ductible contradiction avec p/q irréductible

Conclusion : la réponse à la question

$2$ sqrt2 est irrationnel : supposer le contraire conduit à une fraction irréductible dont le numérateur et le dénominateur sont pairs. Le raisonnement par l'absurde permet de prouver une impossibilité sur une infinité de cas en quelques lignes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi peut-on supposer la fraction irréductible ?

Toute fraction de deux entiers positifs peut se simplifier jusqu'à être irréductible ; c'est donc une hypothèse sans perte de généralité.

Le même raisonnement marche-t-il pour

4

sqrt4 ?

Non, et heureusement : $p^{2} = 4 q^{2}$ p²=4q² ne donne pas de contradiction, puisque $4 = \frac{2}{1}$ sqrt4=2/1. La preuve utilise le fait que 2 n'est pas un carré parfait, à travers la parité.

Quelle différence entre contraposée et réciproque ?

La contraposée de « $A \Rightarrow B$ A⇒ B » est « non $B \Rightarrow$ B⇒ non $A$ A », toujours équivalente. La réciproque « $B \Rightarrow A$ B⇒ A » peut être fausse.

Démontrez que

lo g (2)

log(2) (logarithme décimal) n'est pas rationnel.

Si $lo g 2 = \frac{p}{q}$ log 2=p/q avec $p, q > 0$ p,q>0, alors $1 0^{p} = 2^{q}$ 10^(p)=2^(q). Le membre de gauche est divisible par 5, pas celui de droite : contradiction.

2 + 1

sqrt2+1 est-il rationnel ?

Non : s'il valait $r$ r rationnel, $2 = r - 1$ sqrt2=r-1 serait rationnel.

Un nombre décimal affiché à 30 chiffres peut-il être irrationnel ?

Le nombre affiché est décimal, donc rationnel ; c'est le nombre réel qu'il approche qui peut être irrationnel.

Les pièges qui coûtent des points

Conclure « $p$ p est pair » de « $p^{2}$ p² est pair » sans démontrer le lemme.
Oublier l'hypothèse d'irréductibilité, sans laquelle il n'y a pas de contradiction.
Présenter les décimales de $2$ sqrt2 qui « ne se répètent pas » comme une preuve.

Revoir les notions

Nombres et calculs (Seconde) →

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Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

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