Question de mathsMathsRaisonnement et algorithmes

Si un théorème est vrai, sa réciproque l'est-elle aussi ?

Q: Énoncez la contraposée de « si n est pair, n² est pair ».

« Si $n²$ est impair, alors $n$ est impair. »

Q: La réciproque de « si n est pair, n² est pair » est-elle vraie ?

Oui : si $n²$ est pair, $n$ est pair (contraposée de « $n$ impair $⇒ n²$ impair »). C'est une équivalence.

Q: $x↦ √x $ est-elle dérivable en 0 ?

Non : $( √h )/h=1/( √h )→+∞$. Elle est pourtant continue en 0 : autre contre-exemple, avec une tangente verticale.

Q: Que signifie « condition nécessaire » et « condition suffisante » ?

Dans $A⇒ B$, $A$ est suffisante pour $B$ et $B$ est nécessaire pour $A$. Être continue est nécessaire pour être dérivable, pas suffisant.

Q: Si f'(a) = 0, f a-t-elle un extremum en a ?

Pas forcément : $x↦ x³$ a une dérivée nulle en 0 sans extremum. La réciproque (extremum en un point intérieur $⇒ f'(a)=0$) est, elle, vraie.

« Dérivable implique continue » est vrai, mais la valeur absolue est continue sans être dérivable en 0 : une implication ne dit rien de sa réciproque, alors que sa contraposée lui est équivalente.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au collège, j'ai appris le théorème de Pythagore et sa réciproque comme deux théorèmes séparés, et je me demandais pourquoi on prenait la peine de les distinguer. En terminale, j'ai appris qu'une fonction dérivable est continue, et mon professeur a insisté : « la réciproque est fausse ». J'ai voulu comprendre la logique de l'implication et la façon de prouver qu'une réciproque est vraie ou fausse.

L'enjeu et les notions du programme

Distinguer implication, réciproque, contraposée et équivalence, et savoir produire un contre-exemple.

Mathématiques

Implication, réciproque, contraposée, équivalence, contre-exemple (vocabulaire de la logique)
Dérivabilité et continuité, valeur absolue (première, terminale)
Théorème des valeurs intermédiaires (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction : implication et réciproque
1,5 min
« S'il pleut, le sol est mouillé » est vrai ; « si le sol est mouillé, il pleut » est faux (on a pu l'arroser). En mathématiques, la réciproque de $A \Rightarrow B$ A⇒ B est $B \Rightarrow A$ B⇒ A. Problématique : quand une réciproque est-elle vraie, et comment le savoir ?
2. Une réciproque fausse : dérivable et continue
3,5 min
Une fonction dérivable en $a$ a est continue en $a$ a : $f (a + h) - f (a) = h \times \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ f(a+h)-f(a)=h×(f(a+h)-f(a))/h tend vers $0 \times f^{'} (a) = 0$ 0× f'(a)=0.
Réciproque : une fonction continue en $a$ a est-elle dérivable en $a$ a ? Contre-exemple : $f (x) = ∣ x ∣$ f(x)=|x| en $0$ 0. Elle est continue, mais $\frac{∣ h ∣}{h}$ |h|/h vaut $1$ 1 pour $h > 0$ h>0 et $- 1$ -1 pour $h < 0$ h<0 : le taux d'accroissement n'a pas de limite. La courbe a un « coin » en 0.
Un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation qui porte sur toutes les fonctions.
3. Contraposée et équivalence
3 min
La contraposée de $A \Rightarrow B$ A⇒ B est $non B \Rightarrow non A$ non B⇒ non A : elle est toujours équivalente. « Une fonction non continue en $a$ a n'est pas dérivable en $a$ a » est donc vraie.
Quand l'implication et sa réciproque sont vraies, on a une équivalence. Pythagore : $A B C$ ABC est rectangle en $A$ A si et seulement si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC². Avec le produit scalaire : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C$ BC²=AB²+AC²-2 vecteur AB · vecteur AC, donc l'égalité équivaut à $A B \cdot A C = 0$ vecteur AB · vecteur AC =0 : les deux sens sont prouvés d'un coup.
Autre exemple : le TVI dit que si $f$ f est continue sur $[a; b]$ [a;b] avec $f (a) < 0 < f (b)$ f(a)<0<f(b), alors $f$ f s'annule. La réciproque est fausse : $x \mapsto x^{2} - \frac{1}{4}$ x↦ x²-1/4 s'annule sur $[- 1; 1]$ [-1;1] alors que $f (- 1) = f (1) > 0$ f(-1)=f(1)>0.
4. Conclusion
1,5 min
Un théorème vrai ne dit rien de sa réciproque : il faut la démontrer à part, ou la réfuter par un contre-exemple. Seule la contraposée est automatiquement vraie. J'ouvre sur les fonctions de Weierstrass, continues partout et dérivables nulle part.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A \Rightarrow B ⟺ non B \Rightarrow non A mais A \Rightarrow B \neq \Rightarrow B \Rightarrow A A\Rightarrow B Longleftrightarrow non B\Rightarrow non A mais A\Rightarrow B not\Rightarrow B\Rightarrow A \frac{∣ h ∣ - ∣0∣}{h} = {1 - 1 h > 0 h < 0 (|h|-|0|)/h= 1 h>0 ; -1 h<0 B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C BC²=AB²+AC²-2 vecteur AB \cdot vecteur AC

Conclusion : la réponse à la question

Non : la réciproque d'un théorème vrai peut être fausse, comme le montre la valeur absolue, continue mais non dérivable en 0. Un énoncé et sa contraposée sont équivalents ; un énoncé et sa réciproque, seulement dans le cas d'une équivalence, qu'il faut prouver dans les deux sens.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Énoncez la contraposée de « si n est pair, n² est pair ».

« Si $n^{2}$ n² est impair, alors $n$ n est impair. »

La réciproque de « si n est pair, n² est pair » est-elle vraie ?

Oui : si $n^{2}$ n² est pair, $n$ n est pair (contraposée de « $n$ n impair $\Rightarrow n^{2}$ ⇒ n² impair »). C'est une équivalence.

Donnez une réciproque fausse de la vie courante.

« Si j'habite à Paris, j'habite en France » est vrai ; la réciproque est fausse.

x \mapsto x

x↦ √x est-elle dérivable en 0 ?

Non : $\frac{h}{h} = \frac{1}{h} \to + \infty$ ( √h )/h=1/( √h )→+∞. Elle est pourtant continue en 0 : autre contre-exemple, avec une tangente verticale.

Que signifie « condition nécessaire » et « condition suffisante » ?

Dans $A \Rightarrow B$ A⇒ B, $A$ A est suffisante pour $B$ B et $B$ B est nécessaire pour $A$ A. Être continue est nécessaire pour être dérivable, pas suffisant.

Si f'(a) = 0, f a-t-elle un extremum en a ?

Pas forcément : $x \mapsto x^{3}$ x↦ x³ a une dérivée nulle en 0 sans extremum. La réciproque (extremum en un point intérieur $\Rightarrow f^{'} (a) = 0$ ⇒ f'(a)=0) est, elle, vraie.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre réciproque et contraposée.
Utiliser la réciproque d'un théorème sans l'avoir démontrée.
Croire que $∣ x ∣$ |x| n'est pas continue en 0 parce qu'elle « fait un angle ».

Revoir les notions

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