Question de mathsMathsRaisonnement et algorithmes

Peut-on se fier à une figure pour démontrer ?

Q: Rappelez le critère de colinéarité de deux vecteurs.

$ vecteur u (x;y)$ et $ vecteur v (x';y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx'=0$.

Q: Pourquoi les morceaux semblent-ils parfaitement s'emboîter ?

Les pentes diffèrent de moins de $0,01$ ; sur 13 cases, l'écart vertical maximal est d'environ un dixième de case.

Q: Avec 5, 8, 13, 21, que se passe-t-il ?

Un carré $13×13=169$ donne un rectangle $8×21=168$ : on « perd » une case. $8×21-13²=-1$.

Q: Quelle est la propriété de Fibonacci utilisée ?

L'identité de Cassini : $Fₙ₋₁Fₙ₊₁-Fₙ²=±1$, le signe alternant. On peut la démontrer par récurrence.

Quatre morceaux d'un carré de 64 cases semblent former un rectangle de 65 cases : un calcul de déterminant montre que la « diagonale » n'est pas droite et cache un parallélogramme d'aire 1.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Sur internet, j'ai vu une vidéo où l'on découpe un échiquier de 8 sur 8 en quatre morceaux, puis on les réassemble en un rectangle de 5 sur 13 : on passe de 64 à 65 cases. Le dessin semblait parfait. J'ai voulu trouver où était passée la case manquante, et j'ai compris pourquoi mes professeurs répètent qu'une figure ne démontre rien.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la colinéarité (déterminant de deux vecteurs) et un calcul d'aire pour contrôler une intuition visuelle, et comprendre la différence entre conjecturer et démontrer.

Mathématiques

Vecteurs, coordonnées, colinéarité et déterminant (seconde)
Coefficient directeur d'une droite (seconde)
Aire d'un triangle, d'un trapèze (collège)
Suite de Fibonacci (suites définies par récurrence, première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction : le paradoxe
1,5 min
Un carré de côté 8 est découpé en deux trapèzes et deux triangles rectangles (côtés 3 et 8). On les réarrange en un rectangle $5 \times 13$ 5×13 : $64$ 64 cases deviennent $65$ 65. Problématique : une figure convaincante suffit-elle à démontrer, et où est l'erreur ?
2. La diagonale n'est pas droite
3,5 min
Plaçons le rectangle dans un repère : $O (0; 0)$ O(0;0), $A (8; 3)$ A(8;3), $B (13; 5)$ B(13;5). La « diagonale » passe par $O$ O, $A$ A, $B$ B. Les vecteurs $O A (8; 3)$ vecteur OA (8;3) et $O B (13; 5)$ vecteur OB (13;5) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. Or $8 \times 5 - 3 \times 13 = 40 - 39 = 1 \neq = 0$ 8×5-3×13=40-39=1≠0.
Les points ne sont pas alignés : les pentes valent $\frac{3}{8} = 0, 375$ 3/8=0,375 et $\frac{5}{13} \approx 0, 385$ 5/13≈0,385, une différence invisible à l'œil. La « diagonale » est en réalité une ligne brisée, et il en va de même de l'autre côté.
3. Où est la case manquante ?
3 min
Calculons l'aire du triangle $O A B$ OAB, fin comme une aiguille. Sous le segment $[O B]$ [OB], l'aire vaut $\frac{13 \times 5}{2} = 32, 5$ 13×5/2=32,5. Sous la ligne brisée $O \to A \to B$ O→ A→ B : un triangle $\frac{8 \times 3}{2} = 12$ 8×3/2=12 et un trapèze $5 \times \frac{3 + 5}{2} = 20$ 5×(3+5)/2=20, soit $32$ 32. L'écart est $0, 5$ 0,5.
Les deux triangles fins, de part et d'autre, forment un parallélogramme d'aire $1$ 1 : c'est la case « gagnée », étalée le long de la diagonale. Les nombres 3, 5, 8, 13 sont des termes consécutifs de la suite de Fibonacci, pour lesquels $5 \times 13 - 8^{2} = 1$ 5×13-8²=1 : c'est pour cela que l'écart est si petit.
4. Conclusion
1,5 min
On ne peut pas se fier à une figure pour démontrer : elle aide à conjecturer, mais l'œil ne distingue pas une pente de 0,375 d'une pente de 0,385. Un calcul de déterminant tranche. J'ouvre sur les logiciels de géométrie dynamique, qui affichent des valeurs arrondies : eux aussi peuvent tromper.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

det (O A, O B) = 83135 = 8 \times 5 - 3 \times 13 = 1 \neq = 0 det( vecteur OA , vecteur OB )= 8 13 ; 3 5 =8\times5-3\times13=1\neq0 \frac{13 \times 5}{2} - (\frac{8 \times 3}{2} + 5 \times \frac{3 + 5}{2}) = 32, 5 - 32 = 0, 5 13\times5/2-(8\times3/2+5\times(3+5)/2)=32,5-32=0,5 5 \times 13 - 8^{2} = 65 - 64 = 1 5\times13-8²=65-64=1

Conclusion : la réponse à la question

Une figure ne démontre rien : le « rectangle » de 65 cases n'en est pas un, car ses morceaux laissent un parallélogramme d'aire 1 le long d'une diagonale qui n'est pas droite. Le déterminant, nul si et seulement si deux vecteurs sont colinéaires, transforme l'intuition en certitude.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Rappelez le critère de colinéarité de deux vecteurs.

$u (x; y)$ vecteur u (x;y) et $v (x^{'}; y^{'})$ vecteur v (x';y') sont colinéaires si et seulement si $x y^{'} - y x^{'} = 0$ xy'-yx'=0.

Pourquoi les morceaux semblent-ils parfaitement s'emboîter ?

Les pentes diffèrent de moins de $0, 01$ 0,01 ; sur 13 cases, l'écart vertical maximal est d'environ un dixième de case.

Avec 5, 8, 13, 21, que se passe-t-il ?

Un carré $13 \times 13 = 169$ 13×13=169 donne un rectangle $8 \times 21 = 168$ 8×21=168 : on « perd » une case. $8 \times 21 - 1 3^{2} = - 1$ 8×21-13²=-1.

Quelle est la propriété de Fibonacci utilisée ?

L'identité de Cassini : $F_{n - 1} F_{n + 1} - F_{n}^{2} = \pm 1$ Fₙ₋₁Fₙ₊₁-Fₙ²=±1, le signe alternant. On peut la démontrer par récurrence.

Une figure a-t-elle quand même un rôle en démonstration ?

Oui : elle guide l'intuition, suggère une conjecture et fixe les notations ; mais chaque propriété lue sur la figure doit être justifiée.

Les pièges qui coûtent des points

Affirmer l'alignement de trois points « parce qu'on le voit ».
Calculer le déterminant avec les coordonnées des points au lieu de celles des vecteurs.
Chercher la case manquante dans un morceau précis, alors qu'elle est répartie le long de la diagonale.

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