Calculez $∫₀^($pi xsin x dx\).

$u=x$, $v'=sin x$, $v=-cos x$ : $[-xcos x]₀^($pi+∫₀^(\)picos x dx=π+0=π\).

Établissez une relation entre $Iₙ=∫₀¹xⁿe^(x) dx$ et $Iₙ₋₁$.

Par parties : $Iₙ=[xⁿe^(x)]₀¹-n∫₀¹xⁿ⁻¹e^(x) dx=e-nIₙ₋₁$. Avec $I₀=e-1$, on obtient $I₁=1$, $I₂=e-2$.

Question de mathsMathsIntégration

À quoi sert l'intégration par parties ?

Q: Pourquoi faut-il $u$ et $v$ de dérivées continues ?

Pour que $u'v$ et $uv'$ soient continues, donc intégrables, et que l'on puisse intégrer l'égalité $(uv)'=u'v+uv'$.

Q: Que représente géométriquement ∫₁ᵉ ln x dx = 1 ?

L'aire sous la courbe du logarithme entre 1 et $e$ vaut 1 unité d'aire, comme l'aire sous $1/x$ entre 1 et $e$ (qui vaut $ln e=1$).

Q: Trouvez une primitive de $xe^(-x)$.

Avec $u=x$, $v'=e^(-x)$, $v=-e^(-x)$ : $∫ xe^(-x)dx=-xe^(-x)+∫ e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)$. On vérifie : la dérivée de $-(x+1)e^(-x)$ vaut $-e^(-x)+(x+1)e^(-x)=xe^(-x)$.

Issue de la dérivée d'un produit, l'intégration par parties transforme une intégrale difficile en une plus simple : elle donne ∫₁ᵉ ln x dx = 1 et ∫₀¹ x eˣ dx = 1, et permet de trouver une primitive du logarithme.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand j'ai voulu calculer l'aire sous la courbe du logarithme, je n'ai trouvé aucune primitive « évidente » de $ln x$ ln x. Mon professeur m'a montré l'intégration par parties, qui vient simplement de la formule de dérivation d'un produit. J'ai trouvé fascinant qu'une formule de première permette de résoudre un problème de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la dérivée d'un produit pour transformer une intégrale : une technique de calcul et un raisonnement à rebours.

Mathématiques

Dérivée d'un produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ (uv)'=u'v+uv' (première)
Intégration par parties (terminale)
Primitives de $e^{x}$ e^(x) et de $\frac{1}{x}$ 1/x (terminale)
Calcul d'aires et linéarité de l'intégrale (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un produit à intégrer
1,5 min
On sait intégrer une somme, mais il n'existe pas de formule pour la primitive d'un produit. Problématique : comment intégrer $x e^{x}$ xe^(x) ou $ln x$ ln x, qui n'ont pas de primitive évidente ?
2. La formule et sa démonstration
3 min
Pour $u$ u et $v$ v dérivables à dérivées continues, $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ (uv)'=u'v+uv'. En intégrant sur $[a; b]$ [a;b] : $[uv]_{a}^{b} = \int_{a}^{b} u^{'} v + \int_{a}^{b} u v^{'}$ [uv]ₐ^(b)=∫ₐ^(b)u'v+∫ₐ^(b)uv', d'où $\int_{a}^{b} u v^{'} = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v$ ∫ₐ^(b)uv'=[uv]ₐ^(b)-∫ₐ^(b)u'v.
L'idée : on dérive un facteur qui se simplifie en dérivant ( $x$ x, $ln x$ ln x), on intègre l'autre ( $e^{x}$ e^(x), $1$ 1). On échange une intégrale difficile contre une plus simple.
3. Deux exemples
4 min
$\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ ∫₀¹xe^(x) dx : avec $u = x$ u=x, $v^{'} = e^{x}$ v'=e^(x), $u^{'} = 1$ u'=1, $v = e^{x}$ v=e^(x) : $[x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ [xe^(x)]₀¹-∫₀¹e^(x) dx=e-(e-1)=1.
$\int_{1}^{e} ln x d x$ ∫₁ᵉln x dx : on écrit $ln x = ln x \times 1$ ln x=ln x×1, avec $u = ln x$ u=ln x, $v^{'} = 1$ v'=1, $u^{'} = \frac{1}{x}$ u'=1/x, $v = x$ v=x : $[x ln x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 d x = e - (e - 1) = 1$ [xln x]₁ᵉ-∫₁ᵉ1 dx=e-(e-1)=1.
On en déduit une primitive de $ln$ ln : $x ln x - x$ xln x-x, ce que l'on vérifie en dérivant : $ln x + 1 - 1 = ln x$ ln x+1-1=ln x.
4. Conclusion
1,5 min
L'intégration par parties sert à intégrer certains produits en transformant l'intégrale, grâce à la formule de dérivation d'un produit lue à l'envers. Elle donne en particulier une primitive du logarithme. J'ouvre sur son usage répété, qui permet de calculer $\int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ ∫₀¹xⁿe^(x) dx par récurrence.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\int_{a}^{b} u v^{'} = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v \intₐ^(b)u v'=bigl[u vbigr]ₐ^(b)-\intₐ^(b)u' v \int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1 \int₀¹x e^(x) dx=bigl[xe^(x)bigr]₀¹-\int₀¹e^(x) dx=e-(e-1)=1 \int_{1}^{e} ln x d x = [x ln x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 d x = e - (e - 1) = 1 \int₁ᵉln x dx=bigl[xln xbigr]₁ᵉ-\int₁ᵉ1 dx=e-(e-1)=1

Conclusion : la réponse à la question

L'intégration par parties, issue de la dérivée d'un produit, permet d'intégrer des produits comme $x e^{x}$ xe^(x) ou $ln x \times 1$ ln x×1 en échangeant une intégrale difficile contre une plus simple. Elle fournit notamment la primitive $x ln x - x$ xln x-x du logarithme.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez

\int_{0}^{π} x sin x d x

∫₀^(\)pi xsin x dx.

$u = x$ u=x, $v^{'} = sin x$ v'=sin x, $v = - cos x$ v=-cos x : $[- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x = π + 0 = π$ [-xcos x]₀^(\)pi+∫₀^(\)picos x dx=π+0=π.

Comment choisir u et v′ ?

On dérive le facteur qui se simplifie (polynôme, logarithme) et on intègre celui dont on connaît une primitive (exponentielle, sinus). Un mauvais choix rend l'intégrale plus compliquée.

Pourquoi faut-il

u

u et

v

v de dérivées continues ?

Pour que $u^{'} v$ u'v et $u v^{'}$ uv' soient continues, donc intégrables, et que l'on puisse intégrer l'égalité $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ (uv)'=u'v+uv'.

Établissez une relation entre

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x

Iₙ=∫₀¹xⁿe^(x) dx et

I_{n - 1}

Iₙ₋₁.

Par parties : $I_{n} = [x^{n} e^{x}]_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} x^{n - 1} e^{x} d x = e - n I_{n - 1}$ Iₙ=[xⁿe^(x)]₀¹-n∫₀¹xⁿ⁻¹e^(x) dx=e-nIₙ₋₁. Avec $I_{0} = e - 1$ I₀=e-1, on obtient $I_{1} = 1$ I₁=1, $I_{2} = e - 2$ I₂=e-2.

Que représente géométriquement ∫₁ᵉ ln x dx = 1 ?

L'aire sous la courbe du logarithme entre 1 et $e$ e vaut 1 unité d'aire, comme l'aire sous $\frac{1}{x}$ 1/x entre 1 et $e$ e (qui vaut $ln e = 1$ ln e=1).

Trouvez une primitive de

x e^{- x}

xe^(-x).

Avec $u = x$ u=x, $v^{'} = e^{- x}$ v'=e^(-x), $v = - e^{- x}$ v=-e^(-x) : $\int x e^{- x} d x = - x e^{- x} + \int e^{- x} d x = - x e^{- x} - e^{- x}$ ∫ xe^(-x)dx=-xe^(-x)+∫ e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x). On vérifie : la dérivée de $- (x + 1) e^{- x}$ -(x+1)e^(-x) vaut $- e^{- x} + (x + 1) e^{- x} = x e^{- x}$ -e^(-x)+(x+1)e^(-x)=xe^(-x).

L'intégration par parties est-elle la seule technique ?

Non. Au lycée, on reconnaît surtout des dérivées de fonctions composées, comme $u^{'} e^{u}$ u'e^(u) ou $\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u. L'intégration par parties sert quand le produit ne se présente pas sous cette forme.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le crochet [uv] dans la formule.
Se tromper de signe devant la seconde intégrale.
Choisir de dériver l'exponentielle et d'intégrer le polynôme.

Revoir les notions

Calcul intégral (Terminale spé maths) →

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

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