Question de mathsMathsGéométrie dans l'espace

Comment un logiciel 3D calcule-t-il le point où un rayon lumineux touche une surface ?

Q: Que se passe-t-il pour le plan x + y − z = 5 avec le même rayon ?

$t+2t-2t=5$, soit $t=5$ : le point est $(5;10;10)$. Le vecteur normal $(1;1;-1)$ n'est pas orthogonal à $ vecteur u $ (produit scalaire 1).

Q: Et pour le plan 2x − y = 3 ?

$2t-2t=3$ est impossible : le vecteur normal $(2;-1;0)$ est orthogonal à $ vecteur u $, le rayon est parallèle au plan.

Q: Pourquoi t mesure-t-il une distance ?

$CM=|t|×‖ vecteur u ‖$. Avec un vecteur $ vecteur u $ de norme 1, $t$ est exactement la distance.

Un rayon est une demi-droite paramétrée M(t) = C + t u ; en substituant dans l'équation du plan, on obtient une équation du premier degré en t. Exemple : C(0 ; 0 ; 0), u(1 ; 2 ; 2) et x + y + z = 10 donnent le point (2 ; 4 ; 4).

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai découvert le « lancer de rayons », la technique qui produit les images réalistes des films d'animation. On m'a expliqué que l'ordinateur calcule, pour chaque pixel, où un rayon touche les objets. J'ai été surpris d'apprendre que le calcul de base est celui de l'intersection d'une droite et d'un plan, au programme de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre l'intersection d'une droite et d'un plan à partir d'une représentation paramétrique et d'une équation cartésienne, et interpréter le paramètre.

Mathématiques

Représentation paramétrique d'une droite (terminale)
Équation cartésienne d'un plan (terminale)
Positions relatives d'une droite et d'un plan (terminale)
Produit scalaire et orthogonalité (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le lancer de rayons
1,5 min
Pour dessiner une scène, l'ordinateur envoie depuis l'œil $C$ C un rayon dans la direction de chaque pixel et cherche le premier objet touché. Problématique : comment calculer le point d'impact d'un rayon sur une surface plane ?
2. Mettre en équations
3 min
Le rayon est la demi-droite $M (t) = C + t u$ M(t)=C+t vecteur u, $t \geq 0$ t≥0. Le plan a une équation $a x + b y + cz + d = 0$ ax+by+cz+d=0. On substitue les coordonnées de $M (t)$ M(t) : on obtient une équation du premier degré en $t$ t.
Exemple : $C (0; 0; 0)$ C(0;0;0), $u (1; 2; 2)$ vecteur u (1;2;2), plan $x + y + z = 10$ x+y+z=10. $M (t) = (t; 2 t; 2 t)$ M(t)=(t;2t;2t), d'où $t + 2 t + 2 t = 10$ t+2t+2t=10, $t = 2$ t=2 : le point d'impact est $(2; 4; 4)$ (2;4;4).
3. Les cas particuliers et l'interprétation
4 min
L'équation s'écrit $t (n \cdot u) = - (n \cdot O C + d)$ t( vecteur n · vecteur u )=-( vecteur n · vecteur OC +d), où $n$ vecteur n est le vecteur normal. Si $n \cdot u = 0$ vecteur n · vecteur u =0, le rayon est parallèle au plan : pas d'intersection (ou rayon contenu dans le plan).
Si la solution $t$ t est négative, le plan est derrière l'œil : le rayon ne le touche pas. Le paramètre $t$ t mesure la distance parcourue (en unités de $∥ u ∥$ ‖ vecteur u ‖) : l'ordinateur garde l'objet de plus petit $t$ t positif, le premier rencontré. Ici $∥ u ∥ = 3$ ‖ vecteur u ‖=3, donc le point est à $2 \times 3 = 6$ 2×3=6 unités de l'œil.
Pour calculer l'éclairage, on utilise ensuite le produit scalaire entre $n$ vecteur n et la direction de la lumière.
4. Conclusion
1,5 min
Un logiciel 3D calcule le point d'impact d'un rayon en résolvant l'intersection d'une droite paramétrée et d'un plan : une simple équation du premier degré, répétée des millions de fois par image. J'ouvre sur les surfaces courbes, comme les sphères, où l'on obtient une équation du second degré en $t$ t.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

M (t) = C + t u = (t; 2 t; 2 t), t \geq 0 M(t)=C+t vecteur u =(t; 2t; 2t), t\geq0 t + 2 t + 2 t = 10 ⟺ t = 2 \Rightarrow M (2; 4; 4) t+2t+2t=10\Leftrightarrow t=2 \Rightarrow M(2;4;4) t (n \cdot u) = - (n \cdot O C + d) n \cdot u = 0 \Rightarrow rayon parall \overset{e}{ˋ} le au plan t ( vecteur n \cdot vecteur u )=-bigl( vecteur n \cdot vecteur OC +dbigr) vecteur n \cdot vecteur u =0 \Rightarrow rayon parallèle au plan

Conclusion : la réponse à la question

Le point où un rayon touche une surface plane s'obtient en substituant la représentation paramétrique du rayon dans l'équation du plan. Le signe et la valeur de $t$ t disent si le point est devant l'œil et à quelle distance : c'est le cœur du rendu 3D.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que se passe-t-il pour le plan x + y − z = 5 avec le même rayon ?

$t + 2 t - 2 t = 5$ t+2t-2t=5, soit $t = 5$ t=5 : le point est $(5; 10; 10)$ (5;10;10). Le vecteur normal $(1; 1; - 1)$ (1;1;-1) n'est pas orthogonal à $u$ vecteur u (produit scalaire 1).

Et pour le plan 2x − y = 3 ?

$2 t - 2 t = 3$ 2t-2t=3 est impossible : le vecteur normal $(2; - 1; 0)$ (2;-1;0) est orthogonal à $u$ vecteur u, le rayon est parallèle au plan.

Pourquoi t mesure-t-il une distance ?

$C M = ∣ t ∣ \times ∥ u ∥$ CM=|t|×‖ vecteur u ‖. Avec un vecteur $u$ vecteur u de norme 1, $t$ t est exactement la distance.

Comment savoir si le point d'impact est dans un triangle, et pas seulement dans le plan ?

On exprime le point comme combinaison des sommets du triangle et on vérifie que les coefficients sont positifs et de somme 1.

Quel est l'intérêt du produit scalaire pour l'éclairage ?

La luminosité d'une surface dépend de l'angle entre sa normale et la direction de la lumière : on utilise $cos θ = \frac{n \cdot ℓ}{∥ n ∥∥ ℓ ∥}$ cosθ=( vecteur n ·vecℓ)/(‖ vecteur n ‖‖vecℓ‖).

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le cas parallèle (n · u = 0).
Accepter un t négatif, qui correspond à un point derrière l'observateur.
Confondre le vecteur directeur du rayon et le vecteur normal du plan.

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