Question de mathsMathsHasard et probabilités

Le hasard est-il prévisible ?

Q: Après 10 « face » de suite, « pile » est-il plus probable ?

Non : les lancers sont indépendants, la probabilité reste $1/2$. La loi des grands nombres ne « compense » pas, elle dilue les écarts dans la moyenne.

Q: Démontrez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à partir de Markov.

On applique l'inégalité de Markov à la variable positive $(X-E(X))²$ et au seuil $δ²$ : $P((X-E(X))²≥δ²)leV(X)/δ²$.

Un lancer de pièce est imprévisible, mais la fréquence de « pile » sur 10 000 lancers est presque sûrement proche de 1/2 : la loi des grands nombres et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev rendent le hasard prévisible en moyenne.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je me suis toujours demandé comment les assureurs ou les casinos pouvaient être sûrs de gagner de l'argent avec des événements aléatoires. En terminale, la loi des grands nombres m'a donné la clé : on ne peut pas prévoir un résultat, mais on peut prévoir une moyenne. C'est ce paradoxe que je veux expliquer.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre la différence entre l'imprévisibilité d'une expérience et la régularité statistique d'un grand nombre d'expériences, et la quantifier.

Mathématiques

Variables aléatoires indépendantes, somme et moyenne (terminale)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (terminale)
Inégalité de concentration et loi des grands nombres (terminale)
Simulation en Python (première et terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : imprévisible et pourtant régulier
1,5 min
Personne ne peut prédire le prochain lancer d'une pièce. Pourtant, sur un très grand nombre de lancers, on obtient presque toujours environ la moitié de « pile ». Problématique : en quel sens le hasard devient-il prévisible ?
2. La moyenne d'un échantillon
3 min
On lance $n$ n fois une pièce équilibrée. $X_{i}$ Xᵢ vaut 1 si le $i$ i-ème lancer donne pile, 0 sinon : $E (X_{i}) = \frac{1}{2}$ E(Xᵢ)=1/2, $V (X_{i}) = \frac{1}{4}$ V(Xᵢ)=1/4. La fréquence $F_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ Fₙ=(X₁+…+Xₙ)/n a pour espérance $\frac{1}{2}$ 1/2 et pour variance $\frac{1}{4 n}$ 1/4n, qui tend vers 0.
La moyenne a toujours la même espérance que chaque lancer, mais sa dispersion diminue : elle se concentre autour de $\frac{1}{2}$ 1/2.
3. Une prévision chiffrée
4 min
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P (F_{n} - \frac{1}{2} \geq δ) \leq \frac{1}{4 n δ ^{2}}$ P(|Fₙ-1/2|≥δ)≤1/4nδ².
Pour $n = 10000$ n=10 000 et $δ = 0, 01$ δ=0,01 : la borne vaut $0, 25$ 0,25. Donc avec une probabilité d'au moins 75 %, la fréquence de pile est entre 0,49 et 0,51. Pour $n = 100000$ n=100 000, la borne tombe à $0, 025$ 0,025.
Quand $n \to + \infty$ n→+∞, la borne tend vers 0 : c'est la loi des grands nombres. Le hasard individuel s'efface dans la moyenne. En revanche, l'écart absolu entre le nombre de piles et $\frac{n}{2}$ n/2 peut grandir : il est de l'ordre de $n$ √n.
4. Conclusion
1,5 min
Le hasard est imprévisible dans le détail mais prévisible en moyenne : la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité quand on répète l'expérience. C'est ce qui permet aux assureurs, aux sondeurs et aux casinos de prévoir. J'ouvre sur l'erreur du joueur, qui croit qu'après dix « face », « pile » devient plus probable : les lancers n'ont pas de mémoire.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

F_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}, E (F_{n}) = \frac{1}{2}, V (F_{n}) = \frac{1}{4 n} Fₙ=(X₁+\dots+Xₙ)/n, E(Fₙ)=1/2, V(Fₙ)=1/4n P (F_{n} - \frac{1}{2} \geq δ) \leq \frac{V ( F _{n} )}{δ ^{2}} = \frac{1}{4 n δ ^{2}} n = 10000, δ = 0, 01 : 0, 25 P (|Fₙ-1/2|\geqδ)leV(Fₙ)/δ²=1/4nδ² n=10 000, δ=0,01 : 0,25

Conclusion : la réponse à la question

Le hasard n'est pas prévisible pour une expérience, mais il l'est pour la moyenne d'un grand nombre d'expériences indépendantes : la variance de la moyenne est divisée par $n$ n, et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en déduit la loi des grands nombres.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Après 10 « face » de suite, « pile » est-il plus probable ?

Non : les lancers sont indépendants, la probabilité reste $\frac{1}{2}$ 1/2. La loi des grands nombres ne « compense » pas, elle dilue les écarts dans la moyenne.

Démontrez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à partir de Markov.

On applique l'inégalité de Markov à la variable positive $(X - E (X))^{2}$ (X-E(X))² et au seuil $δ^{2}$ δ² : $P ((X - E (X))^{2} \geq δ^{2}) \leq \frac{V ( X )}{δ ^{2}}$ P((X-E(X))²≥δ²)leV(X)/δ².

Pourquoi la variance de la somme vaut-elle n/4 ?

Parce que les lancers sont indépendants : la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances.

Comment illustrer la loi des grands nombres en Python ?

On simule n lancers avec random.randint(0, 1), on calcule la fréquence et on la trace pour n allant de 1 à 10 000 : la courbe oscille puis se resserre autour de 0,5.

La borne de Bienaymé-Tchebychev est-elle précise ?

Non, elle est prudente : la probabilité réelle d'un écart de 0,01 sur 10 000 lancers est d'environ 5 %, pas 25 %. Mais elle a l'avantage d'être valable pour toutes les lois.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que la loi des grands nombres « compense » les écarts passés.
Confondre écart de la fréquence (qui tend vers 0) et écart du nombre de succès (qui peut grandir).
Énoncer la loi sans la quantifier.

Revoir les notions

Concentration et loi des grands nombres (Terminale spé maths) →

Autres questions : hasard et probabilités

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