Pourquoi $ln1=0$ et que vaut $ln1/a$ ?

Avec $a=b=1$ : $ln1=2ln1$, donc $ln1=0$. Puis $ln a+ln1/a=ln1=0$, d'où $ln1/a=-ln a$ : l'inverse devient l'opposé, comme la multiplication devient l'addition.

Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Comment le logarithme a-t-il transformé les multiplications en additions ?

Q: Pourquoi les tables utilisaient-elles plutôt le logarithme décimal ?

Avec $log₁₀x=(ln x)/ln10$, multiplier par 10 ajoute 1 au logarithme : une seule table entre 1 et 10 suffit, il suffit ensuite de déplacer la virgule.

Q: Calculez $ln8-ln2$ sans calculatrice.

$ln8-ln2=ln8/2=ln4=2ln2≈1,39$.

Q: Quelle est la dérivée de ln ?

$ln'(x)=1/x$ sur $]0,+∞[$. On l'obtient en dérivant $exp(ln x)=x$ : $ln'(x)exp(ln x)=1$, donc $ln'(x)=1/x$.

Q: Existe-t-il d'autres fonctions vérifiant $f(ab)=f(a)+f(b)$ ?

Les fonctions $kln$ (logarithmes dans une autre base) ; parmi les fonctions dérivables, ce sont les seules. La constante $k$ correspond au choix de la base.

Q: Résolvez $2^(x)=10$.

$xln2=ln10$, donc $x=ln10/ln2≈2,30/0,69≈3,32$.

La propriété ln(ab) = ln a + ln b, démontrée par la dérivation, explique les tables de Napier et la règle à calcul : on multiplie en additionnant des longueurs.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au CDI, j'ai trouvé une règle à calcul, l'outil des ingénieurs avant les calculatrices. J'ai compris qu'elle multiplie en additionnant des longueurs. En terminale, j'ai reconnu la propriété fondamentale du logarithme, et j'ai voulu montrer comment une démonstration du cours a changé, pendant trois siècles, la façon de calculer.

L'enjeu et les notions du programme

La propriété fondamentale du logarithme, démontrée par la dérivation, et son rôle historique et pratique : simplifier les calculs en ramenant un produit à une somme.

Mathématiques

Fonction logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle (terminale)
Propriété $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b et conséquences (terminale)
Dérivée de $ln$ ln et de $x \mapsto ln (a x)$ x↦ln(ax) (terminale)
Fonction de dérivée nulle sur un intervalle (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : multiplier était difficile
1,5 min
Au XVIᵉ siècle, les astronomes passaient des jours à multiplier des nombres à huit chiffres. En 1614, John Napier publie des tables qui ramènent la multiplication à l'addition. Problématique : quelle propriété le permet, et pourquoi est-elle vraie ?
2. La propriété fondamentale et sa démonstration
4 min
On veut montrer que pour $a, b > 0$ a,b>0, $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b. À $a$ a fixé, on pose $h (x) = ln (a x) - ln x$ h(x)=ln(ax)-ln x sur $] 0, + \infty [$ ]0,+∞[. Sa dérivée vaut $\frac{a}{a x} - \frac{1}{x} = 0$ a/ax-1/x=0 : $h$ h est constante, égale à $h (1) = ln a$ h(1)=ln a.
Donc $ln (a x) = ln a + ln x$ ln(ax)=ln a+ln x pour tout $x > 0$ x>0, et en particulier pour $x = b$ x=b. On en déduit $ln \frac{a}{b} = ln a - ln b$ lna/b=ln a-ln b et $ln (a^{n}) = n ln a$ ln(aⁿ)=nln a : les puissances deviennent des multiplications simples.
3. Comment on calculait avec les logarithmes
3 min
Pour calculer $p = a \times b$ p=a× b, on lit $ln a$ ln a et $ln b$ ln b dans la table, on les additionne, puis on lit le nombre dont le logarithme vaut cette somme : $p = exp (ln a + ln b)$ p=exp(ln a+ln b).
La règle à calcul applique la même idée : les graduations sont placées à une distance proportionnelle à $ln x$ ln x de l'origine. Mettre deux réglettes bout à bout additionne les longueurs, donc multiplie les nombres. Exemple au tableau : $ln 2 + ln 3 = ln 6$ ln2+ln3=ln6, soit $0, 69 + 1, 10 \approx 1, 79$ 0,69+1,10≈1,79.
4. Conclusion
1,5 min
Le logarithme transforme les multiplications en additions grâce à la propriété $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b, qui découle d'un simple calcul de dérivée. Cette propriété a été l'outil de calcul principal des scientifiques jusqu'aux années 1970. J'ouvre sur les échelles logarithmiques (pH, décibels), qui exploitent la même idée.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

h (x) = ln (a x) - ln x, h^{'} (x) = \frac{a}{a x} - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow h (x) = h (1) = ln a h(x)=ln(ax)-ln x, h'(x)=a/ax-1/x=0 \Rightarrow h(x)=h(1)=ln a ln (ab) = ln a + ln b ln 2 + ln 3 \approx 0, 69 + 1, 10 = 1, 79 \approx ln 6 boxedln(ab)=ln a+ln b ln2+ln3\approx0,69+1,10=1,79\approxln 6 a \times b = exp (ln a + ln b) a\times b=exp(ln a+ln b)

Conclusion : la réponse à la question

Le logarithme est la fonction qui convertit les produits en sommes, et c'est exactement ce que démontre la dérivation de $x \mapsto ln (a x) - ln x$ x↦ln(ax)-ln x. Cette propriété a permis pendant trois siècles de calculer vite, avec des tables puis des règles à calcul.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi les tables utilisaient-elles plutôt le logarithme décimal ?

Avec $lo g_{10} x = \frac{l n x}{l n 10}$ log₁₀x=(ln x)/ln10, multiplier par 10 ajoute 1 au logarithme : une seule table entre 1 et 10 suffit, il suffit ensuite de déplacer la virgule.

Calculez

ln 8 - ln 2

ln8-ln2 sans calculatrice.

$ln 8 - ln 2 = ln \frac{8}{2} = ln 4 = 2 ln 2 \approx 1, 39$ ln8-ln2=ln8/2=ln4=2ln2≈1,39.

Quelle est la dérivée de ln ?

$ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ln'(x)=1/x sur $] 0, + \infty [$ ]0,+∞[. On l'obtient en dérivant $exp (ln x) = x$ exp(ln x)=x : $ln^{'} (x) exp (ln x) = 1$ ln'(x)exp(ln x)=1, donc $ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ln'(x)=1/x.

Existe-t-il d'autres fonctions vérifiant

f (ab) = f (a) + f (b)

f(ab)=f(a)+f(b) ?

Les fonctions $k ln$ kln (logarithmes dans une autre base) ; parmi les fonctions dérivables, ce sont les seules. La constante $k$ k correspond au choix de la base.

Résolvez

2^{x} = 10

2^(x)=10.

$x ln 2 = ln 10$ xln2=ln10, donc $x = \frac{l n 10}{l n 2} \approx \frac{2 , 30}{0 , 69} \approx 3, 32$ x=ln10/ln2≈2,30/0,69≈3,32.

Pourquoi

ln 1 = 0

ln1=0 et que vaut

ln \frac{1}{a}

ln1/a ?

Avec $a = b = 1$ a=b=1 : $ln 1 = 2 ln 1$ ln1=2ln1, donc $ln 1 = 0$ ln1=0. Puis $ln a + ln \frac{1}{a} = ln 1 = 0$ ln a+ln1/a=ln1=0, d'où $ln \frac{1}{a} = - ln a$ ln1/a=-ln a : l'inverse devient l'opposé, comme la multiplication devient l'addition.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire $ln (a + b) = ln a + ln b$ ln(a+b)=ln a+ln b : c'est faux, la propriété concerne les produits.
Oublier la condition $a > 0$ a>0 et $b > 0$ b>0.
Raconter l'histoire sans démontrer la propriété : le jury attend les deux.

Revoir les notions

Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

Autres questions : exponentielle et logarithme

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

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