Quelles sont les fonctions telles que $f'=f$ sans condition en 0 ?

Les fonctions $x↦ Ce^(x)$, $C$ réel. La condition $f(0)=1$ fixe $C=1$.

Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Pourquoi l'exponentielle est-elle la seule fonction égale à sa dérivée ?

Q: Pourquoi une fonction de dérivée nulle est-elle constante ?

Sur un intervalle, si $g'=0$, $g$ est à la fois croissante et décroissante (le signe de la dérivée donne le sens de variation), donc constante. L'hypothèse « sur un intervalle » est indispensable.

Q: Démontrez que $exp(a+b)=exp(a)exp(b)$.

À $b$ fixé, $h(x)=(exp(x+b))/exp(b)$ vérifie $h'=h$ et $h(0)=1$, donc $h=exp$ par unicité : $exp(x+b)=exp(x)exp(b)$.

Q: Comment construire une approximation de l'exponentielle ?

Par la méthode d'Euler : $f(x+h)≈ f(x)+hf'(x)=(1+h)f(x)$. Avec un pas $h=1/n$, on obtient $f(1)≈(1+1/n)ⁿ$, qui tend vers $e$.

Q: Quelles sont les solutions de $y'=-2y$ telles que $y(0)=5$ ?

Les solutions de $y'=ay$ sont $Ce^(ax)$ ; ici $a=-2$ et $y(0)=C=5$, donc $y(x)=5e^(-2x)$. C'est le modèle de toute décroissance proportionnelle à la quantité présente, comme l'élimination d'un médicament.

Si f′ = f et f(0) = 1, la fonction f × exp(−x) a une dérivée nulle : elle est constante, égale à 1, donc f = exp. Une démonstration courte qui fonde tout le chapitre.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Le cours de première commence par « on admet qu'il existe une unique fonction $f$ f dérivable telle que $f^{'} = f$ f'=f et $f (0) = 1$ f(0)=1 ». Le mot « unique » m'a frappé : comment peut-on être sûr qu'il n'en existe pas une autre ? Comprendre la démonstration de l'unicité m'a montré la puissance d'un raisonnement très court.

L'enjeu et les notions du programme

Distinguer existence et unicité, et démontrer une unicité à l'aide de la dérivation : un raisonnement emblématique des démonstrations exigibles.

Mathématiques

Définition de la fonction exponentielle par $f^{'} = f$ f'=f, $f (0) = 1$ f(0)=1 (première)
Dérivée d'un produit et de $x \mapsto f (a x + b)$ x↦ f(ax+b) (première)
Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (première)
Équation différentielle $y^{'} = a y$ y'=ay (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : existence et unicité
1,5 min
Je cite la définition du cours et j'explique que deux affirmations s'y cachent : il existe une telle fonction, et il n'y en a qu'une. L'existence est admise en première ; l'unicité se démontre. Problématique : comment prouver qu'aucune autre fonction ne convient ?
2. Étape 1 : l'exponentielle ne s'annule jamais
3 min
Soit $exp$ exp une solution. On pose $φ (x) = exp (x) exp (- x)$ φ(x)=exp(x)exp(-x). Sa dérivée vaut $exp (x) exp (- x) - exp (x) exp (- x) = 0$ exp(x)exp(-x)-exp(x)exp(-x)=0 : $φ$ φ est constante, égale à $φ (0) = 1$ φ(0)=1.
Donc $exp (x) exp (- x) = 1$ exp(x)exp(-x)=1 pour tout $x$ x : l'exponentielle ne s'annule jamais, et $exp (- x) = \frac{1}{e x p ( x )}$ exp(-x)=1/exp(x). C'est l'outil de la suite.
3. Étape 2 : l'unicité
4 min
Soit $f$ f une autre fonction telle que $f^{'} = f$ f'=f et $f (0) = 1$ f(0)=1. On pose $g (x) = f (x) exp (- x)$ g(x)=f(x)exp(-x). Alors $g^{'} (x) = f^{'} (x) exp (- x) - f (x) exp (- x) = 0$ g'(x)=f'(x)exp(-x)-f(x)exp(-x)=0 puisque $f^{'} = f$ f'=f.
La fonction $g$ g est donc constante sur $R$ ℝ, égale à $g (0) = f (0) \times 1 = 1$ g(0)=f(0)×1=1. Ainsi $f (x) exp (- x) = 1$ f(x)exp(-x)=1, c'est-à-dire $f (x) = \frac{1}{e x p ( - x )} = exp (x)$ f(x)=1/(exp(-x))=exp(x) d'après l'étape 1.
Généralisation : les solutions de $y^{'} = a y$ y'=ay sont exactement les fonctions $x \mapsto C e^{a x}$ x↦ Ce^(ax), par le même raisonnement avec $g (x) = y (x) e^{- a x}$ g(x)=y(x)e^(-ax).
4. Conclusion
1,5 min
L'unicité repose sur une idée simple : multiplier par $exp (- x)$ exp(-x) pour obtenir une fonction de dérivée nulle, donc constante. Ce raisonnement est le modèle de toutes les résolutions d'équations différentielles linéaires du programme. J'ouvre sur l'existence, qui demande plus d'outils, par exemple la méthode d'Euler ou la limite de $(1 + \frac{x}{n})^{n}$ (1+x/n)ⁿ.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

φ (x) = exp (x) exp (- x), φ^{'} (x) = exp (x) exp (- x) - exp (x) exp (- x) = 0 \Rightarrow φ \equiv 1 φ(x)=exp(x)exp(-x), φ'(x)=exp(x)exp(-x)-exp(x)exp(-x)=0 \Rightarrow φ\equiv1 g (x) = f (x) exp (- x), g^{'} (x) = (f^{'} (x) - f (x)) exp (- x) = 0 \Rightarrow g \equiv g (0) = 1 \Rightarrow f = exp g(x)=f(x)exp(-x), g'(x)=bigl(f'(x)-f(x)bigr)exp(-x)=0 \Rightarrow g\equiv g(0)=1 \Rightarrow f=exp

Conclusion : la réponse à la question

L'exponentielle est la seule fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0, parce que le quotient de deux telles fonctions a une dérivée nulle. Cette démonstration de quelques lignes fonde les propriétés algébriques de l'exponentielle et la résolution de $y^{'} = a y$ y'=ay.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi une fonction de dérivée nulle est-elle constante ?

Sur un intervalle, si $g^{'} = 0$ g'=0, $g$ g est à la fois croissante et décroissante (le signe de la dérivée donne le sens de variation), donc constante. L'hypothèse « sur un intervalle » est indispensable.

Démontrez que

exp (a + b) = exp (a) exp (b)

exp(a+b)=exp(a)exp(b).

À $b$ b fixé, $h (x) = \frac{e x p ( x + b )}{e x p ( b )}$ h(x)=(exp(x+b))/exp(b) vérifie $h^{'} = h$ h'=h et $h (0) = 1$ h(0)=1, donc $h = exp$ h=exp par unicité : $exp (x + b) = exp (x) exp (b)$ exp(x+b)=exp(x)exp(b).

Quelles sont les fonctions telles que

f^{'} = f

f'=f sans condition en 0 ?

Les fonctions $x \mapsto C e^{x}$ x↦ Ce^(x), $C$ C réel. La condition $f (0) = 1$ f(0)=1 fixe $C = 1$ C=1.

Pourquoi l'exponentielle est-elle strictement positive ?

Elle ne s'annule pas et vaut 1 en 0 ; par continuité, si elle prenait une valeur négative, elle s'annulerait (théorème des valeurs intermédiaires). On peut aussi écrire $exp (x) = (exp \frac{x}{2})^{2} > 0$ exp(x)=(expx/2)²>0.

Comment construire une approximation de l'exponentielle ?

Par la méthode d'Euler : $f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x) = (1 + h) f (x)$ f(x+h)≈ f(x)+hf'(x)=(1+h)f(x). Avec un pas $h = \frac{1}{n}$ h=1/n, on obtient $f (1) \approx (1 + \frac{1}{n})^{n}$ f(1)≈(1+1/n)ⁿ, qui tend vers $e$ e.

Quelles sont les solutions de

y^{'} = - 2 y

y'=-2y telles que

y (0) = 5

y(0)=5 ?

Les solutions de $y^{'} = a y$ y'=ay sont $C e^{a x}$ Ce^(ax) ; ici $a = - 2$ a=-2 et $y (0) = C = 5$ y(0)=C=5, donc $y (x) = 5 e^{- 2 x}$ y(x)=5e^(-2x). C'est le modèle de toute décroissance proportionnelle à la quantité présente, comme l'élimination d'un médicament.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre l'existence (admise) et l'unicité (démontrée).
Oublier de montrer d'abord que $exp$ exp ne s'annule pas, ce qui permet de diviser.
Dire « dérivée nulle donc constante » sans préciser « sur un intervalle ».

Revoir les notions

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