Pourquoi la suite $(1+1/n)ⁿ$ ne tend-elle pas vers 1, puisque $1+1/n→1$ ?

Parce que l'exposant tend vers l'infini en même temps : c'est une forme indéterminée « $1^($infty\) ». Le passage au logarithme transforme le produit en $nln(1+1/n)$, forme « $∞×0$ » que l'on lève avec le nombre dérivé.

Donnez une valeur approchée de $e$ et une méthode de calcul.

$e≈2,718$. On peut utiliser la suite $(1+1/n)ⁿ$, mais elle converge lentement ($2,7146$ pour $n=365$). La somme $1+1+1/2!+1/3!+…$ converge beaucoup plus vite (hors programme).

Démontrez que $(a^(x))'=ln a× a^(x)$.

Par définition $a^(x)=e^(xln a)$. La dérivée de $e^(u(x))$ est $u'(x)e^(u(x))$, avec $u(x)=xln a$, $u'(x)=ln a$.

Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Pourquoi le nombre e est-il si important en mathématiques ?

Q: Que représente e graphiquement ?

C'est l'ordonnée du point d'abscisse 1 de la courbe de $exp$. C'est aussi l'unique réel $a>0$ tel que l'aire sous la courbe de $x↦1/x$ entre 1 et $a$ vaut 1, puisque $∫₁^(a)dx/x=ln a$.

Le nombre e ≈ 2,718 apparaît à la fois comme limite de (1 + 1/n)ⁿ, issue des intérêts composés, et comme valeur en 1 de la seule fonction égale à sa dérivée : deux chemins qui mènent au même nombre.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En première, on m'a présenté l'exponentielle comme « la fonction égale à sa dérivée », puis on a défini $e = exp (1)$ e=exp(1). Plus tard, j'ai lu que ce même nombre apparaît dans un calcul d'intérêts bancaires, sans aucune dérivée. J'ai voulu comprendre pourquoi deux problèmes aussi différents conduisent au même nombre, et ce qui le rend incontournable.

L'enjeu et les notions du programme

Relier une approche discrète (suites, intérêts composés) et une approche continue (fonction exponentielle, dérivée) : le nombre e est le pont entre les deux.

Mathématiques

Fonction exponentielle : définition par $f^{'} = f$ f'=f, $f (0) = 1$ f(0)=1, notation $e^{x}$ e^(x) (première)
Fonction logarithme népérien et ses propriétés (terminale)
Nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement, $lim_{h \to 0} \frac{l n ( 1 + h )}{h} = 1$ lim_h→0(ln(1+h))/h=1 (première et terminale)
Limites de suites et composition par une fonction continue (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un nombre qui apparaît partout
1,5 min
Je présente ma surprise, puis la question : pourquoi $e \approx 2, 718$ e≈2,718, qui n'est ni entier ni rationnel, s'impose-t-il plutôt que 2 ou 10 ? J'annonce deux chemins : les intérêts composés, puis la dérivée.
2. Premier chemin : les intérêts composés
3,5 min
On place 1 € à 100 % par an. Versé une fois, l'intérêt donne 2 €. Versé deux fois (50 % par semestre), on obtient $1, 5^{2} = 2, 25$ 1,5²=2,25 €. Avec $n$ n versements, on obtient $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ (1+1/n)ⁿ € : $2, 613$ 2,613 mensuellement, $2, 7146$ 2,7146 quotidiennement, $2, 7181$ 2,7181 toutes les heures.
Ces valeurs augmentent mais semblent plafonner. Pour trouver la limite, on passe au logarithme : $ln (1 + \frac{1}{n})^{n} = n ln (1 + \frac{1}{n}) = \frac{l n ( 1 + h )}{h}$ ln(1+1/n)ⁿ=nln(1+1/n)=(ln(1+h))/h avec $h = \frac{1}{n}$ h=1/n. Ce quotient est le taux d'accroissement de $ln$ ln en 1, qui tend vers $ln^{'} (1) = 1$ ln'(1)=1. Par continuité de l'exponentielle, $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e^{1} = e$ (1+1/n)ⁿ→ e¹=e.
3. Second chemin : la fonction égale à sa dérivée
3,5 min
Parmi toutes les fonctions $x \mapsto a^{x}$ x↦ a^(x), une seule a une tangente de pente exactement 1 en 0 : c'est celle de base $e$ e. Pour une base $a$ a quelconque, $a^{x} = e^{x l n a}$ a^(x)=e^(xln a) a pour dérivée $ln a \times a^{x}$ ln a× a^(x) : la dérivée est proportionnelle à la fonction, avec un coefficient $ln a$ ln a qui vaut 1 seulement pour $a = e$ a=e.
C'est pour cela que $e$ e est la base « naturelle » : avec elle, les formules de dérivation n'ont aucun coefficient parasite, et toute croissance proportionnelle à la quantité présente (population, capital, désintégration) s'écrit simplement $C e^{k t}$ Ce^(kt).
4. Conclusion
1,5 min
Le nombre $e$ e est important parce qu'il est à la fois la limite des intérêts composés continus et la base pour laquelle la dérivée de l'exponentielle est elle-même. Ces deux visages sont liés par le fait que $ln^{'} (1) = 1$ ln'(1)=1. J'ouvre sur la célèbre égalité $e^{iπ} + 1 = 0$ e^(iπ)+1=0, qui relie $e$ e aux nombres complexes, au programme de maths expertes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(1 + \frac{1}{n})^{n} = exp (n ln (1 + \frac{1}{n})) = exp (\frac{ln ( 1 + h ) - ln 1}{h}), h = \frac{1}{n} \to 0 (1+1/n)ⁿ=exp (nln (1+1/n))=exp ((ln(1+h)-ln 1)/h), h=1/n\to0 \frac{ln ( 1 + h ) - ln 1}{h} h \to 0 ln^{'} (1) = 1 ⟹ (1 + \frac{1}{n})^{n} \to e \approx 2, 718 (ln(1+h)-ln1)/h \to ln'(1)=1 \Rightarrow (1+1/n)ⁿ\to e\approx2,718 (a^{x})^{'} = ln a \times a^{x} donc (a^{x})^{'} = a^{x} ⟺ a = e (a^(x))'=ln a\times a^(x) donc (a^(x))'=a^(x)\Leftrightarrow a=e

Conclusion : la réponse à la question

Le nombre $e$ e s'impose parce qu'il est le seul à concilier le discret et le continu : il est la limite de la capitalisation de plus en plus fréquente, et il est la base qui rend l'exponentielle égale à sa dérivée. C'est pourquoi on le retrouve dans tous les modèles de croissance ou de décroissance proportionnelle.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la suite

(1 + \frac{1}{n})^{n}

(1+1/n)ⁿ ne tend-elle pas vers 1, puisque

1 + \frac{1}{n} \to 1

1+1/n→1 ?

Parce que l'exposant tend vers l'infini en même temps : c'est une forme indéterminée « $1^{\infty}$ 1^(\)infty ». Le passage au logarithme transforme le produit en $n ln (1 + \frac{1}{n})$ nln(1+1/n), forme « $\infty \times 0$ ∞×0 » que l'on lève avec le nombre dérivé.

Donnez une valeur approchée de

e

e et une méthode de calcul.

$e \approx 2, 718$ e≈2,718. On peut utiliser la suite $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ (1+1/n)ⁿ, mais elle converge lentement ( $2, 7146$ 2,7146 pour $n = 365$ n=365). La somme $1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots$ 1+1+1/2!+1/3!+… converge beaucoup plus vite (hors programme).

Démontrez que

(a^{x})^{'} = ln a \times a^{x}

(a^(x))'=ln a× a^(x).

Par définition $a^{x} = e^{x l n a}$ a^(x)=e^(xln a). La dérivée de $e^{u (x)}$ e^(u(x)) est $u^{'} (x) e^{u (x)}$ u'(x)e^(u(x)), avec $u (x) = x ln a$ u(x)=xln a, $u^{'} (x) = ln a$ u'(x)=ln a.

Que représente e graphiquement ?

C'est l'ordonnée du point d'abscisse 1 de la courbe de $exp$ exp. C'est aussi l'unique réel $a > 0$ a>0 tel que l'aire sous la courbe de $x \mapsto \frac{1}{x}$ x↦1/x entre 1 et $a$ a vaut 1, puisque $\int_{1}^{a} \frac{d x}{x} = ln a$ ∫₁^(a)dx/x=ln a.

La suite

(1 + \frac{1}{n})^{n}

(1+1/n)ⁿ est-elle croissante ?

Oui, on peut le vérifier sur les premières valeurs (2 ; 2,25 ; 2,37…) et le démontrer par une étude de fonction de x ↦ x ln(1 + 1/x) ; mais ce n'est pas nécessaire pour trouver la limite.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to 1^{\infty} = 1$ (1+1/n)ⁿ→1^(\)infty=1 : c'est une forme indéterminée.
Confondre $e$ e (un nombre) et $exp$ exp (une fonction).
Citer e^{iπ} + 1 = 0 sans pouvoir l'expliquer : en ouverture seulement.

Revoir les notions

Autres questions : exponentielle et logarithme

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