Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Pourquoi utilise-t-on des échelles logarithmiques pour représenter certaines données ?

Q: Où se place la graduation 2 entre 1 et 10 sur une échelle logarithmique ?

À la fraction $ln2/ln10≈0,69/2,30≈0,30$ de l'intervalle : c'est le logarithme décimal de 2.

Q: Comment estimer k à partir de deux mesures ?

Si $y(t₁)=y₁$ et $y(t₂)=y₂$, alors $k=(ln y₂-ln y₁)/(t₂-t₁)$ : c'est la pente de la droite en échelle logarithmique.

Q: Quel lien avec les statistiques à deux variables ?

On fait un ajustement affine de $ln y$ en fonction de $t$ : c'est un changement de variable $z=ln y$. On revient ensuite au modèle $y=Ce^(kt)$.

Q: Citez une grandeur définie avec un logarithme.

Le pH, $-log₁₀[mathrm H₃O⁺]$, ou le niveau sonore en décibels, $10log₁₀I/I₀$ : une multiplication de l'intensité par 10 ajoute 10 dB.

Une échelle logarithmique transforme une croissance exponentielle y = C·eᵏᵗ en droite (ln y = ln C + kt) et permet de lire un taux de croissance comme une pente ; elle rend aussi lisibles des données qui couvrent plusieurs ordres de grandeur.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant l'épidémie de Covid, des graphiques montraient des courbes qui devenaient des droites quand on cochait « échelle logarithmique ». Je ne comprenais pas comment une courbe pouvait changer de forme selon l'axe. En terminale, j'ai compris qu'il s'agit simplement de tracer $ln y$ ln y au lieu de $y$ y, et j'ai voulu expliquer ce que cela révèle.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le logarithme comme outil de représentation : linéariser un modèle exponentiel pour estimer un taux, et comparer des grandeurs d'ordres très différents.

Mathématiques

Logarithme népérien : $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b, $ln (e^{x}) = x$ ln(e^(x))=x (terminale)
Fonctions exponentielles et modèles de croissance (première et terminale)
Fonctions affines, coefficient directeur (seconde)
Statistiques à deux variables, ajustement affine après changement de variable (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une courbe qui devient une droite
1,5 min
Je dessine deux graphiques d'une même donnée qui double chaque jour : en échelle ordinaire, une courbe qui explose ; en échelle logarithmique, une droite. Problématique : que fait exactement l'échelle logarithmique, et pourquoi est-elle si utile ?
2. Linéariser une exponentielle
4 min
Si $y (t) = C e^{k t}$ y(t)=Ce^(kt), alors $ln y (t) = ln C + k t$ ln y(t)=ln C+kt : en traçant $ln y$ ln y en fonction de $t$ t, on obtient une droite de pente $k$ k et d'ordonnée à l'origine $ln C$ ln C. Une échelle logarithmique fait ce travail visuellement : les graduations 1, 10, 100, 1 000 sont équidistantes.
Conséquence : on lit le taux de croissance comme une pente. Si $y$ y double toutes les $T$ T unités de temps, $k T = ln 2$ kT=ln2, donc $k = \frac{l n 2}{T}$ k=ln2/T. Une droite qui s'infléchit signale que la croissance ralentit, ce qui est invisible en échelle ordinaire au début de l'épidémie.
3. Comparer des ordres de grandeur
3 min
Deuxième usage : représenter des grandeurs de 1 à 1 000 000 sur le même graphique. En échelle ordinaire, les petites valeurs sont écrasées contre l'axe ; en échelle logarithmique, chaque facteur 10 occupe la même place.
Sur l'échelle, la distance entre $a$ a et $b$ b est proportionnelle à $ln b - ln a = ln \frac{b}{a}$ ln b-ln a=lnb/a : on lit des rapports, pas des différences. Passer de 10 à 100 ou de 1 000 à 10 000, c'est le même écart, car c'est la même multiplication.
4. Conclusion
1,5 min
On utilise une échelle logarithmique parce qu'elle transforme une exponentielle en droite et des rapports en distances : elle permet d'estimer un taux de croissance et de comparer des grandeurs très différentes. J'ouvre sur ses limites : elle ne peut pas représenter 0 ni des valeurs négatives, et elle « écrase » visuellement les grands écarts, ce qui peut tromper le lecteur.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

y (t) = C e^{k t} ⟺ ln y (t) = ln C + k t (droite de pente k) y(t)=Ce^(kt)\Leftrightarrowln y(t)=ln C+k t ( droite de pente k) y double toutes les T : e^{k T} = 2 ⟺ k = \frac{ln 2}{T} \approx \frac{0 , 69}{T} y double toutes les T : e^(kT)=2\Leftrightarrow k=(ln 2)/T\approx0,69/T distance entre a et b \propto ln b - ln a = ln \frac{b}{a} distance entre a et b \propto ln b-ln a=lnb/a

Conclusion : la réponse à la question

L'échelle logarithmique n'est pas un artifice : elle applique la propriété $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b pour rendre visible une croissance exponentielle (droite) et lisible une donnée étalée sur plusieurs ordres de grandeur. Elle demande cependant au lecteur de raisonner en rapports.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Où se place la graduation 2 entre 1 et 10 sur une échelle logarithmique ?

À la fraction $\frac{l n 2}{l n 10} \approx \frac{0 , 69}{2 , 30} \approx 0, 30$ ln2/ln10≈0,69/2,30≈0,30 de l'intervalle : c'est le logarithme décimal de 2.

Comment estimer k à partir de deux mesures ?

Si $y (t_{1}) = y_{1}$ y(t₁)=y₁ et $y (t_{2}) = y_{2}$ y(t₂)=y₂, alors $k = \frac{l n y _{2} - l n y _{1}}{t _{2} - t _{1}}$ k=(ln y₂-ln y₁)/(t₂-t₁) : c'est la pente de la droite en échelle logarithmique.

Quel lien avec les statistiques à deux variables ?

On fait un ajustement affine de $ln y$ ln y en fonction de $t$ t : c'est un changement de variable $z = ln y$ z=ln y. On revient ensuite au modèle $y = C e^{k t}$ y=Ce^(kt).

Une échelle logarithmique peut-elle tromper ?

Oui : une même hauteur représente un doublement entre 1 et 2 comme entre 1 000 et 2 000. Un lecteur non averti sous-estime les grands écarts ; il faut toujours le signaler.

Citez une grandeur définie avec un logarithme.

Le pH, $- lo g_{10} [H_{3} O^{+}]$ -log₁₀[mathrm H₃O⁺], ou le niveau sonore en décibels, $10 lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}$ 10log₁₀I/I₀ : une multiplication de l'intensité par 10 ajoute 10 dB.

Les pièges qui coûtent des points

Dire qu'une échelle logarithmique « change les données » : elle change seulement leur représentation.
Oublier qu'une droite en échelle logarithmique correspond à une exponentielle, pas à une fonction affine.
Placer 0 sur un axe logarithmique : impossible.

Revoir les notions

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