Démontrez $ln(1+x)≤ x$ pour $x>-1$.

La fonction $g(x)=x-ln(1+x)$ a pour dérivée $x/(1+x)$ : négative sur $]-1,0]$, positive ensuite. Son minimum est $g(0)=0$, donc $g≥0$.

Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Placer son argent avec des intérêts versés plus souvent rapporte-t-il sans limite ?

Q: Combien de temps faut-il pour doubler un capital à 5 % en continu ?

Il faut $e^(0,05t)=2$, soit $t=ln2/0,05≈0,69/0,05≈13,9$ ans. C'est l'origine de la « règle de 70 ».

Q: Quelle équation différentielle vérifie le capital en capitalisation continue ?

$C'(t)=rC(t)$ : la vitesse de croissance est proportionnelle au capital. Ses solutions sont $C(t)=C₀e^(rt)$.

Q: Et si le taux est négatif, comme l'inflation qui ronge l'épargne ?

Le même calcul donne $e^(rt)$ avec $r<0$ : décroissance exponentielle. Avec une inflation de 2 % par an, le pouvoir d'achat d'une somme est divisé par 2 en environ 35 ans.

Pour un taux annuel r, capitaliser n fois par an donne (1 + r/n)ⁿ ; ce gain augmente avec n mais reste borné par eʳ : 1 000 € à 5 % rapportent au plus 51,27 € par an, même en capitalisation continue.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant des offres d'épargne, j'ai vu que certaines banques mettent en avant des intérêts « calculés chaque jour ». Je me suis demandé si, à la limite, capitaliser à chaque seconde pouvait rapporter une fortune. Le calcul m'a montré que non, et m'a fait découvrir l'exponentielle sous un angle financier.

L'enjeu et les notions du programme

Passer d'un modèle discret (suite géométrique) à un modèle continu (exponentielle) et montrer que le passage à la limite est borné : l'exponentielle comme « plafond » de la capitalisation.

Mathématiques

Suites géométriques et intérêts composés (première)
Fonction exponentielle, limite de $(1 + \frac{x}{n})^{n}$ (1+x/n)ⁿ (terminale)
Logarithme népérien, inégalité $ln (1 + x) \leq x$ ln(1+x)≤ x (terminale)
Étude de fonction et sens de variation (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : la question du banquier
1,5 min
Je pose le cadre : un capital $C_{0}$ C₀ placé au taux annuel $r$ r, avec des intérêts versés $n$ n fois par an, chacun au taux $\frac{r}{n}$ r/n. Au bout d'un an, le capital vaut $C_{0} (1 + \frac{r}{n})^{n}$ C₀(1+r/n)ⁿ. Problématique : ce montant grandit-il sans limite quand $n$ n augmente ?
2. Des valeurs qui augmentent de moins en moins
3 min
Pour $C_{0} = 1000$ C₀=1 000 € et $r = 5 %$ r=5 % : versement annuel $1050$ 1 050 € ; mensuel $1051, 16$ 1 051,16 € ; quotidien $1051, 27$ 1 051,27 €. Capitaliser plus souvent rapporte plus, mais le gain supplémentaire devient minuscule : passer du mois au jour rapporte 11 centimes.
On peut le comprendre : chaque fractionnement permet de toucher des « intérêts sur les intérêts » un peu plus tôt, mais sur des montants de plus en plus petits.
3. La limite : l'exponentielle comme plafond
4 min
On passe au logarithme : $ln (1 + \frac{r}{n})^{n} = n ln (1 + \frac{r}{n})$ ln(1+r/n)ⁿ=nln(1+r/n). L'inégalité $ln (1 + x) \leq x$ ln(1+x)≤ x donne $n ln (1 + \frac{r}{n}) \leq r$ nln(1+r/n)≤ r, donc $(1 + \frac{r}{n})^{n} \leq e^{r}$ (1+r/n)ⁿ≤ e^(r) pour tout $n$ n : le capital ne peut jamais dépasser $C_{0} e^{r}$ C₀e^(r).
De plus, avec $h = \frac{r}{n}$ h=r/n, $n ln (1 + h) = r \times \frac{l n ( 1 + h )}{h} \to r$ nln(1+h)=r×(ln(1+h))/h→ r, car le quotient tend vers $ln^{'} (1) = 1$ ln'(1)=1. Donc $(1 + \frac{r}{n})^{n} \to e^{r}$ (1+r/n)ⁿ→ e^(r) : la capitalisation continue donne $1000 e^{0, 05} \approx 1051, 27$ 1 000e^(0,05)≈1 051,27 €. Le capital au temps $t$ t vaut alors $C_{0} e^{r t}$ C₀e^(rt), solution de $C^{'} = r C$ C'=rC.
4. Conclusion
1,5 min
Non : capitaliser plus souvent rapporte toujours un peu plus, mais le gain est plafonné par $e^{r}$ e^(r). Le vrai levier n'est pas la fréquence, c'est le taux et la durée. J'ouvre sur le taux annuel équivalent : un taux de 5 % capitalisé en continu équivaut à un taux annuel de $e^{0, 05} - 1 \approx 5, 13 %$ e^(0,05)-1≈5,13 %.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C_{n} = C_{0} (1 + \frac{r}{n})^{n} 1000 \times 1, 05 = 10501000 (1 + \frac{0 , 05}{12})^{12} \approx 1051, 16 Cₙ=C₀(1+r/n)ⁿ 1 000\times1,05=1 050 1 000(1+0,05/12)¹²\approx1 051,16 ln (1 + x) \leq x \Rightarrow n ln (1 + \frac{r}{n}) \leq r \Rightarrow (1 + \frac{r}{n})^{n} \leq e^{r} ln(1+x)\leq x \Rightarrow nln (1+r/n)\leq r \Rightarrow (1+r/n)ⁿ\leq e^(r) (1 + \frac{r}{n})^{n} n \to + \infty e^{r}, 1000 e^{0, 05} \approx 1051, 27 (1+r/n)ⁿ \to e^(r), 1 000 e^(0,05)\approx1 051,27

Conclusion : la réponse à la question

La capitalisation de plus en plus fréquente fait croître le capital, mais vers une limite finie : $C_{0} e^{r}$ C₀e^(r). L'exponentielle apparaît ainsi naturellement comme la capitalisation continue, et l'inégalité $ln (1 + x) \leq x$ ln(1+x)≤ x montre qu'on ne peut pas la dépasser.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le capital augmente-t-il quand on fractionne ?

Les intérêts versés plus tôt produisent eux-mêmes des intérêts. Avec deux versements : $(1 + \frac{r}{2})^{2} = 1 + r + \frac{r ^{2}}{4} > 1 + r$ (1+r/2)²=1+r+r²/4>1+r ; le terme $\frac{r ^{2}}{4}$ r²/4 représente les intérêts sur les intérêts.

Démontrez

ln (1 + x) \leq x

ln(1+x)≤ x pour

x > - 1

x>-1.

La fonction $g (x) = x - ln (1 + x)$ g(x)=x-ln(1+x) a pour dérivée $\frac{x}{1 + x}$ x/(1+x) : négative sur $] - 1, 0]$ ]-1,0], positive ensuite. Son minimum est $g (0) = 0$ g(0)=0, donc $g \geq 0$ g≥0.

Combien de temps faut-il pour doubler un capital à 5 % en continu ?

Il faut $e^{0, 05 t} = 2$ e^(0,05t)=2, soit $t = \frac{l n 2}{0 , 05} \approx \frac{0 , 69}{0 , 05} \approx 13, 9$ t=ln2/0,05≈0,69/0,05≈13,9 ans. C'est l'origine de la « règle de 70 ».

Quelle équation différentielle vérifie le capital en capitalisation continue ?

$C^{'} (t) = r C (t)$ C'(t)=rC(t) : la vitesse de croissance est proportionnelle au capital. Ses solutions sont $C (t) = C_{0} e^{r t}$ C(t)=C₀e^(rt).

Et si le taux est négatif, comme l'inflation qui ronge l'épargne ?

Le même calcul donne $e^{r t}$ e^(rt) avec $r < 0$ r<0 : décroissance exponentielle. Avec une inflation de 2 % par an, le pouvoir d'achat d'une somme est divisé par 2 en environ 35 ans.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'un taux « calculé chaque jour » multiplie les gains : l'écart avec le versement mensuel est de quelques centimes pour 1 000 €.
Confondre le taux par période $\frac{r}{n}$ r/n et le taux annuel $r$ r.
Passer à la limite sans justifier : la suite et le logarithme doivent être utilisés explicitement.

Revoir les notions

Autres questions : exponentielle et logarithme

Toutes les questions de maths →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →