Question de mathsMathsTrigonométrie et phénomènes périodiques

Pourquoi les mêmes fonctions décrivent-elles une roue qui tourne et un ressort qui oscille ?

La projection d'un point qui tourne uniformément sur un cercle, x(t) = R cos(ωt), oscille sur un diamètre : sa dérivée seconde vérifie x″ = −ω²x, la même équation que celle d'un ressort. Rotation et oscillation sont deux faces d'une même fonction.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En physique, le mouvement d'un ressort est décrit par un cosinus, alors qu'aucun cercle n'apparaît. En regardant l'ombre d'un manège sur un mur, j'ai vu un mouvement de va-et-vient. J'ai voulu montrer que l'oscillation est la projection d'une rotation, et que les mathématiques font le lien.

L'enjeu et les notions du programme

Relier mouvement circulaire uniforme et oscillation sinusoïdale par la projection et la dérivation : une même fonction pour deux phénomènes.

Mathématiques

Fonctions cosinus et sinus, périodicité (terminale)
Dérivées de $cos (ω t)$ cos(ω t) et $sin (ω t)$ sin(ω t) (terminale)
Cercle trigonométrique et coordonnées (première)
Équation différentielle $y^{''} = - ω^{2} y$ y''=-ω²y (lecture, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : l'ombre d'un manège
1,5 min
Un point tourne à vitesse constante sur un cercle. Son ombre, projetée sur un mur, fait un va-et-vient. Problématique : pourquoi ce va-et-vient est-il identique au mouvement d'une masse accrochée à un ressort ?
2. La projection d'une rotation
3,5 min
Un point tourne sur un cercle de rayon $R$ R à la vitesse angulaire $ω$ ω : au temps $t$ t, l'angle vaut $ω t$ ω t et le point a pour coordonnées $(R cos ω t; R sin ω t)$ (Rcosω t;Rsinω t).
Son ombre sur l'axe des abscisses a pour position $x (t) = R cos (ω t)$ x(t)=Rcos(ω t) : elle oscille entre $- R$ -R et $R$ R, avec une période $T = \frac{2 π}{ω}$ T=frac2πω. Elle va vite au centre et ralentit aux extrémités, exactement comme une masse sur un ressort.
3. La même équation
3,5 min
$x^{'} (t) = - R ω sin (ω t)$ x'(t)=-Rωsin(ω t) et $x^{''} (t) = - R ω^{2} cos (ω t) = - ω^{2} x (t)$ x''(t)=-Rω²cos(ω t)=-ω²x(t). L'accélération est proportionnelle à la position et de signe opposé.
Pour un ressort de raideur $k$ k et une masse $m$ m, la loi de Newton donne $m x^{''} = - k x$ mx''=-kx, soit $x^{''} = - \frac{k}{m} x$ x''=-k/mx. C'est la même équation avec $ω^{2} = \frac{k}{m}$ ω²=k/m. La vitesse est maximale au centre ( $∣ x^{'} ∣ = R ω$ |x'|=Rω quand $cos = 0$ cos=0) et nulle aux extrémités.
4. Conclusion
1,5 min
Une roue qui tourne et un ressort qui oscille sont décrits par les mêmes fonctions parce que l'oscillation est la projection d'une rotation uniforme : toutes deux vérifient $x^{''} = - ω^{2} x$ x''=-ω²x. J'ouvre sur les signaux électriques alternatifs, décrits par la même équation, et sur les ondes sonores.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

M (t) = (R cos (ω t); R sin (ω t)), x (t) = R cos (ω t), T = \frac{2 π}{ω} M(t)=bigl(Rcos(ω t);Rsin(ω t)bigr), x(t)=Rcos(ω t), T=2π/ω x^{'} (t) = - R ω sin (ω t), x^{''} (t) = - R ω^{2} cos (ω t) = - ω^{2} x (t) x'(t)=-Rωsin(ω t), x''(t)=-Rω²cos(ω t)=-ω² x(t)

Conclusion : la réponse à la question

L'ombre d'un point en rotation uniforme et une masse au bout d'un ressort obéissent à la même relation $x^{''} = - ω^{2} x$ x''=-ω²x, dont les solutions sont des fonctions sinusoïdales. La trigonométrie unifie ainsi deux mouvements en apparence différents.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quelle est la période d'une roue qui fait 3 tours par seconde ?

$T = \frac{1}{3}$ T=1/3 s, et $ω = 2 π \times 3 = 6 π$ ω=2π×3=6π rad/s.

Où la vitesse de l'ombre est-elle maximale ?

Au centre, quand $sin (ω t) = \pm 1$ sin(ω t)=±1 : $∣ x^{'} ∣ = R ω$ |x'|=Rω, égale à la vitesse du point sur le cercle.

Vérifiez que

x (t) = 2 sin (3 t)

x(t)=2sin(3t) vérifie

x^{''} = - 9 x

x''=-9x.

$x^{'} = 6 cos (3 t)$ x'=6cos(3t), $x^{''} = - 18 sin (3 t) = - 9 x$ x''=-18sin(3t)=-9x.

Comment varie la période du ressort si la masse quadruple ?

$ω = \frac{k}{m}$ ω=√(k/m) est divisé par 2, donc la période double.

Les deux mouvements ont-ils la même énergie ?

Pour le ressort, l'énergie se partage entre énergie cinétique et énergie élastique ; l'analogie porte sur la forme mathématique du mouvement, pas sur la physique.

Comment présenter cette idée sans équation ?

Avec l'image du manège : je fais tourner la main en cercle et je montre son ombre au mur, qui va et vient. La vitesse de la main est constante, mais l'ombre ralentit aux bords et accélère au centre, comme une balançoire ou un ressort.

Que représente la phase dans x(t) = R cos(ωt + φ) ?

La position de départ sur le cercle : $φ$ φ est l'angle initial. Deux oscillateurs de même pulsation mais de phases différentes sont décalés dans le temps de $\frac{φ}{ω}$ fracφω.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le facteur ω lors de la dérivation.
Confondre période T et pulsation ω.
Présenter l'analogie physique sans la relation mathématique commune.

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