Quel est le premier chiffre de $2¹⁰⁰$ ?

La partie décimale de $30,103$ donne $10^(0,103)≈1,27$ : le nombre commence par 1, puis 2.

Pourquoi $log₁₀x=(ln x)/ln10$ ?

Si $y=log₁₀x$, alors $10^(y)=x$, soit $e^(yln10)=x$, donc $yln10=ln x$.

Combien de chiffres a $5¹⁰⁰$, et quel lien avec $2¹⁰⁰$ ?

$100log₁₀5=100(1-log₁₀2)≈69,9$ : 70 chiffres. Comme $2¹⁰⁰×5¹⁰⁰=10¹⁰⁰$, les nombres de chiffres de $2¹⁰⁰$ et $5¹⁰⁰$ totalisent $31+70=101$, un de plus que les zéros de $10¹⁰⁰$.

Question de mathsMathsExponentielle et logarithme

Comment savoir combien de chiffres a un nombre immense sans l'écrire ?

Q: Combien de chiffres a $3⁵⁰$ ?

$50log₁₀3=50×ln3/ln10≈50×0,477=23,9$ : 24 chiffres.

Q: Combien de bits pour écrire 1 000 000 en binaire ?

$log₂(10⁶)=6×ln10/ln2≈19,9$ : il faut 20 bits.

Q: Peut-on calculer ln 2 sans calculatrice ?

On peut l'encadrer : $ln2=∫₁²dx/x$, compris entre $1/2$ et 1 ; des méthodes plus fines (rectangles, trapèzes) donnent $0,69$.

Q: À quoi sert ce calcul en pratique ?

À prévoir la mémoire nécessaire pour stocker un nombre, à estimer la durée d'un calcul ou à comparer des ordres de grandeur. En cryptographie, la sécurité d'une clé se mesure en bits : une clé de 2 048 bits correspond à un nombre d'environ $2 048log₁₀2≈617$ chiffres décimaux.

Un entier N ≥ 1 a ⌊log₁₀ N⌋ + 1 chiffres. Avec ln, on trouve que 2¹⁰⁰ a 31 chiffres sans le calculer, ce que l'on vérifie en encadrant 2¹⁰⁰ entre deux puissances de 10.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que le plus grand nombre premier connu s'écrit avec plus de 41 millions de chiffres. Je me suis demandé comment on peut compter ses chiffres sans l'écrire en entier. La réponse tient en une formule avec le logarithme, que j'ai voulu comprendre et démontrer.

L'enjeu et les notions du programme

Relier l'écriture décimale d'un nombre à son logarithme : encadrer un nombre entre deux puissances de 10 et utiliser la croissance de ln.

Mathématiques

Logarithme népérien et propriété $ln (a^{n}) = n ln a$ ln(aⁿ)=nln a (terminale)
Logarithme décimal $lo g_{10} x = \frac{l n x}{l n 10}$ log₁₀x=(ln x)/ln10 (terminale, application)
Croissance d'une fonction et inégalités (première)
Partie entière et encadrement (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : compter sans écrire
1,5 min
Combien de chiffres a $2^{100}$ 2¹⁰⁰ ? On ne peut pas l'écrire à la main facilement. Problématique : existe-t-il une méthode pour connaître le nombre de chiffres d'un entier à partir d'un calcul simple ?
2. Nombre de chiffres et puissances de 10
3 min
Un entier a $k$ k chiffres si et seulement si $1 0^{k - 1} \leq N < 1 0^{k}$ 10^(k-1)≤ N<10^(k). Par exemple, les nombres à 3 chiffres sont ceux de 100 à 999.
On applique $lo g_{10}$ log₁₀, qui est croissant : $k - 1 \leq lo g_{10} N < k$ k-1≤log₁₀N<k. Donc $k - 1$ k-1 est la partie entière de $lo g_{10} N$ log₁₀N, et le nombre de chiffres vaut $⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1$ lfloorlog₁₀Nrfloor+1. Avec $lo g_{10} x = \frac{l n x}{l n 10}$ log₁₀x=(ln x)/ln10, tout se ramène au logarithme népérien.
3. Application à 2¹⁰⁰
4 min
$lo g_{10} (2^{100}) = 100 lo g_{10} 2 = 100 \times \frac{l n 2}{l n 10} \approx 100 \times 0, 30103 = 30, 103$ log₁₀(2¹⁰⁰)=100log₁₀2=100×ln2/ln10≈100×0,30103=30,103. La partie entière vaut 30 : $2^{100}$ 2¹⁰⁰ a 31 chiffres.
Vérification sans logarithme : $2^{10} = 1024$ 2¹⁰=1 024, donc $2^{100} = 1, 02 4^{10} \times 1 0^{30}$ 2¹⁰⁰=1,024¹⁰×10³⁰. Or $1 < 1, 02 4^{10} < 10$ 1<1,024¹⁰<10 (on peut montrer $1, 02 4^{10} \approx 1, 27$ 1,024¹⁰≈1,27). Donc $1 0^{30} < 2^{100} < 1 0^{31}$ 10³⁰<2¹⁰⁰<10³¹ : 31 chiffres. Le résultat exact est $2^{100} = 1267650600228229401496703205376$ 2¹⁰⁰=1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376.
4. Conclusion
1,5 min
Le logarithme décimal donne directement le nombre de chiffres d'un entier, car il mesure « combien de fois on multiplie par 10 ». C'est ainsi que l'on sait que $2^{136279841} - 1$ 2^(136 279 841)-1 a 41 024 320 chiffres. J'ouvre sur l'écriture en base 2 : le nombre de bits d'un entier se calcule de la même façon avec $lo g_{2}$ log₂.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

N a k chiffres ⟺ 1 0^{k - 1} \leq N < 1 0^{k} ⟺ k - 1 \leq lo g_{10} N < k N a k chiffres \Leftrightarrow10^(k-1)\leq N<10^(k)\Leftrightarrow k-1\leqlog₁₀N<k lo g_{10} (2^{100}) = 100 \times \frac{ln 2}{ln 10} \approx 100 \times 0, 30103 = 30, 103 \Rightarrow 31 chiffres log₁₀ (2¹⁰⁰)=100\timesln2/ln10\approx100\times0,30103=30,103 \Rightarrow 31 chiffres

Conclusion : la réponse à la question

On compte les chiffres d'un entier $N$ N grâce à $⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1$ lfloorlog₁₀Nrfloor+1, qui découle de l'encadrement entre deux puissances de 10 et de la croissance du logarithme. Le logarithme apparaît ici comme une mesure de la « taille » d'un nombre.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de chiffres a

3^{50}

3⁵⁰ ?

$50 lo g_{10} 3 = 50 \times \frac{l n 3}{l n 10} \approx 50 \times 0, 477 = 23, 9$ 50log₁₀3=50×ln3/ln10≈50×0,477=23,9 : 24 chiffres.

Quel est le premier chiffre de

2^{100}

2¹⁰⁰ ?

La partie décimale de $30, 103$ 30,103 donne $1 0^{0, 103} \approx 1, 27$ 10^(0,103)≈1,27 : le nombre commence par 1, puis 2.

Pourquoi

lo g_{10} x = \frac{l n x}{l n 10}

log₁₀x=(ln x)/ln10 ?

Si $y = lo g_{10} x$ y=log₁₀x, alors $1 0^{y} = x$ 10^(y)=x, soit $e^{y l n 10} = x$ e^(yln10)=x, donc $y ln 10 = ln x$ yln10=ln x.

Combien de bits pour écrire 1 000 000 en binaire ?

$lo g_{2} (1 0^{6}) = 6 \times \frac{l n 10}{l n 2} \approx 19, 9$ log₂(10⁶)=6×ln10/ln2≈19,9 : il faut 20 bits.

Peut-on calculer ln 2 sans calculatrice ?

On peut l'encadrer : $ln 2 = \int_{1}^{2} \frac{d x}{x}$ ln2=∫₁²dx/x, compris entre $\frac{1}{2}$ 1/2 et 1 ; des méthodes plus fines (rectangles, trapèzes) donnent $0, 69$ 0,69.

À quoi sert ce calcul en pratique ?

À prévoir la mémoire nécessaire pour stocker un nombre, à estimer la durée d'un calcul ou à comparer des ordres de grandeur. En cryptographie, la sécurité d'une clé se mesure en bits : une clé de 2 048 bits correspond à un nombre d'environ $2048 lo g_{10} 2 \approx 617$ 2 048log₁₀2≈617 chiffres décimaux.

Combien de chiffres a

5^{100}

5¹⁰⁰, et quel lien avec

2^{100}

2¹⁰⁰ ?

$100 lo g_{10} 5 = 100 (1 - lo g_{10} 2) \approx 69, 9$ 100log₁₀5=100(1-log₁₀2)≈69,9 : 70 chiffres. Comme $2^{100} \times 5^{100} = 1 0^{100}$ 2¹⁰⁰×5¹⁰⁰=10¹⁰⁰, les nombres de chiffres de $2^{100}$ 2¹⁰⁰ et $5^{100}$ 5¹⁰⁰ totalisent $31 + 70 = 101$ 31+70=101, un de plus que les zéros de $1 0^{100}$ 10¹⁰⁰.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le « + 1 » : $lo g_{10} (100) = 2$ log₁₀(100)=2, mais 100 a 3 chiffres.
Confondre $ln$ ln et $lo g_{10}$ log₁₀.
Affirmer le résultat sans encadrement de vérification.

Revoir les notions

Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

Autres questions : exponentielle et logarithme

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

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