Le système français de plaques d'immatriculation suffira-t-il longtemps ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En 2009, la France a changé de système de plaques d'immatriculation. Je me suis demandé combien de plaques ce nouveau format permet et si l'on risque d'en manquer. Le principe multiplicatif m'a permis d'estimer cette réserve et même la date où elle sera épuisée.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le principe multiplicatif pour dénombrer des codes avec contraintes, puis exploiter le résultat dans un modèle d'évolution.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : le format AA-123-AA

   1,5 min

   Une plaque comporte deux lettres, trois chiffres, deux lettres. Certaines lettres sont exclues pour éviter les confusions (I avec 1, O avec 0, U avec V) et le bloc 000 n'est pas utilisé. Problématique : combien de plaques sont disponibles, et combien de temps tiendront-elles ? Ce sont les hypothèses de mon modèle.

2. 2. Compter avec le principe multiplicatif

   3,5 min

   Avec 23 lettres autorisées et 999 nombres (de 001 à 999), une plaque est un 5-uplet (lettre, lettre, nombre, lettre, lettre). Par le principe multiplicatif : $23\times 23\times 999\times 23\times 23=23^4\times 999\approx 2,8\times 10^8$23×23×999×23×23=23⁴×999≈2,8×10⁸, soit environ 280 millions.

   Sans les exclusions (26 lettres), on aurait $26^4\times 999\approx 4,6\times 10^8$26⁴×999≈4,6×10⁸ : les règles de lisibilité réduisent la réserve de près de 40 %.

3. 3. Estimer la durée de vie

   3,5 min

   Les plaques sont attribuées une fois pour toute la vie du véhicule. Si l'on immatricule de l'ordre de 2 à 3 millions de véhicules par an (neufs et importés), la réserve s'épuise en $\frac{2,8\times 10^8}{2,5\times 10^6}\approx 110$2,8×10⁸/2,5×10⁶≈110 ans environ à partir de 2009.

   Le modèle est une suite arithmétique : le nombre de plaques restantes diminue d'une quantité fixe par an. Il est discutable : le rythme d'immatriculation peut varier, et les plaques de véhicules détruits ne sont pas réutilisées. L'ordre de grandeur, un siècle, reste robuste.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Le format AA-123-AA offre environ 280 millions de combinaisons, de quoi tenir de l'ordre d'un siècle au rythme actuel. Le principe multiplicatif donne la réserve ; un modèle simple en déduit la durée, à condition d'en discuter les hypothèses. J'ouvre sur l'ajout d'un seul caractère, qui multiplierait la réserve par 23 ou par 10.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Présenter les règles d'exclusion comme certaines sans les annoncer comme hypothèses.
• Oublier que 000 n'est pas utilisé (999 nombres et non 1 000).
• Donner une date d'épuisement précise sans discuter le modèle.

Revoir les notions

• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →

Autres questions : dénombrement

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