Question de mathsMathsDénombrement

Au poker, pourquoi une couleur bat-elle une suite ?

Q: Calculez $binom135$.

$13×12×11×10×9/120=(154 440)/120=1 287$.

Q: Quelle est la probabilité d'une quinte flush royale ?

4 mains sur 2 598 960, soit $1/(649 740)$.

Parmi les 2 598 960 mains de 5 cartes, il y a 10 200 suites et 5 108 couleurs (quintes flush exclues) : la couleur est deux fois plus rare, donc plus forte. La hiérarchie du poker est un classement par dénombrement.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En jouant au poker avec des amis, quelqu'un a demandé pourquoi une couleur bat une suite, alors qu'une suite semble plus « difficile » à faire. Personne ne savait. J'ai voulu répondre par le calcul, et j'ai découvert que toute la hiérarchie du poker repose sur le dénombrement.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer des configurations avec contraintes, en évitant les doubles comptes, et relier rareté et probabilité.

Mathématiques

Combinaisons $(k n)$ binom nk (terminale)
Principe multiplicatif et principe additif (terminale)
Probabilité en situation d'équiprobabilité (seconde)
Dénombrement avec exclusion de cas (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une hiérarchie à justifier
1,5 min
Une main de poker est formée de 5 cartes tirées dans un jeu de 52 : il y a $(5 52) = 2598960$ binom525=2 598 960 mains équiprobables. Une suite est formée de 5 hauteurs consécutives, une couleur de 5 cartes de la même couleur. Problématique : laquelle est la plus rare ?
2. Compter les suites
3,5 min
Une suite est déterminée par sa hauteur de départ : de l'as-2-3-4-5 au 10-valet-dame-roi-as, il y a 10 possibilités. Chaque carte peut être de 4 couleurs : $4^{5} = 1024$ 4⁵=1 024 choix.
On obtient $10 \times 1024 = 10240$ 10×1 024=10 240 mains, mais parmi elles, les quintes flush (suite et couleur à la fois) : $10 \times 4 = 40$ 10×4=40. Elles sont classées à part, donc il y a $10240 - 40 = 10200$ 10 240-40=10 200 suites simples.
3. Compter les couleurs et conclure
3,5 min
On choisit la couleur (4 choix) et 5 hauteurs parmi 13 : $4 \times (5 13) = 4 \times 1287 = 5148$ 4×binom135=4×1 287=5 148. On retire les 40 quintes flush : $5108$ 5 108 couleurs simples.
Une couleur est donc environ deux fois plus rare qu'une suite : $P (couleur) \approx \frac{5 108}{2 598 960} \approx 0, 20 %$ P( couleur )≈(5 108)/(2 598 960)≈0,20 % contre $P (suite) \approx 0, 39 %$ P( suite )≈0,39 %. La règle du poker est cohérente : plus une main est rare, plus elle est forte. De même, le full ( $13 \times (3 4) \times 12 \times (2 4) = 3744$ 13×binom43×12×binom42=3 744) bat la couleur.
4. Conclusion
1,5 min
La couleur bat la suite parce qu'elle est deux fois plus rare : 5 108 mains contre 10 200. La hiérarchie du poker traduit un dénombrement rigoureux, où il faut retirer les cas comptés deux fois (les quintes flush). J'ouvre sur les variantes avec jokers ou cartes communes, où le classement peut changer.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(5 52) = 2598960 C(52, 5) =2 598 960 suites : 10 \times 4^{5} - 40 = 10200 couleurs : 4 \times (5 13) - 40 = 5108 suites : 10\times4⁵-40=10 200 couleurs : 4\times C(13, 5) -40=5 108 full : 13 \times (3 4) \times 12 \times (2 4) = 3744 full : 13\timesbinom43\times12\timesbinom42=3 744

Conclusion : la réponse à la question

Une couleur bat une suite parce qu'elle est environ deux fois plus rare. Le dénombrement, avec le principe multiplicatif et l'exclusion des quintes flush comptées deux fois, justifie entièrement la hiérarchie des mains.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de carrés (quatre cartes de même hauteur) ?

13 hauteurs pour le carré, puis 48 choix pour la cinquième carte : $13 \times 48 = 624$ 13×48=624.

Pourquoi 10 hauteurs de départ pour une suite et pas 9 ?

Parce que l'as compte à la fois comme carte basse (A-2-3-4-5) et haute (10-V-D-R-A) : départs de A à 10, soit 10.

Calculez

(5 13)

binom135.

$\frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{120} = \frac{154 440}{120} = 1287$ 13×12×11×10×9/120=(154 440)/120=1 287.

Quelle est la probabilité d'une quinte flush royale ?

4 mains sur 2 598 960, soit $\frac{1}{649 740}$ 1/(649 740).

Le full bat-il la couleur à juste titre ?

Oui : 3 744 fulls contre 5 108 couleurs, le full est plus rare. Le calcul du full : choisir la hauteur du brelan (13) et 3 couleurs ( $(3 4)$ binom43), puis la hauteur de la paire (12) et 2 couleurs ( $(2 4)$ binom42).

Les pièges qui coûtent des points

Oublier de retirer les quintes flush des suites et des couleurs.
Compter 9 hauteurs de départ en oubliant l'as bas.
Utiliser des arrangements : l'ordre des cartes dans la main ne compte pas.

Revoir les notions

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