Question de mathsMathsHasard et probabilités

Comment un sondage auprès de 1 000 personnes peut-il renseigner sur tout un pays ?

Q: Combien de personnes faudrait-il pour une précision de 1 point à 90 % ?

Il faut $1/4n×0,0001≤0,1$, soit $n≥25 000$. Diviser l'erreur par 5 demande 25 fois plus de personnes : la précision varie comme $1/( √n )$.

Q: Démontrez que $p(1-p)≤1/4$.

$1/4-p(1-p)=p²-p+1/4=(p-1/2)²≥0$.

Q: D'où vient la formule de la variance de F ?

Les $Xᵢ$ sont indépendantes de variance $p(1-p)$, donc $V(X₁+…+Xₙ)=np(1-p)$, et $V(F)=1/n²× np(1-p)$.

Q: Énoncez la loi des grands nombres.

Pour tout $δ>0$, $P(|Fₙ-p|≥δ)→0$ quand $n→+∞$ : la fréquence se concentre autour de la probabilité. Elle découle ici de la borne $1/4nδ²$.

La précision d'un sondage dépend de la taille de l'échantillon, pas de celle de la population : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit que, sur 1 000 personnes, la fréquence observée s'écarte de plus de 5 points de la vraie proportion avec une probabilité au plus 10 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je trouvais étrange qu'un sondage de 1 000 personnes prétende décrire 50 millions d'électeurs. Le chapitre sur la concentration en terminale m'a donné une réponse mathématique, avec une inégalité que l'on peut démontrer en classe. J'ai voulu comprendre ce qui fait la fiabilité d'un sondage, et aussi ses limites.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres pour quantifier l'écart entre une fréquence observée et une probabilité inconnue.

Mathématiques

Loi binomiale, espérance et variance (terminale)
Variance d'une moyenne de variables indépendantes : $V (\overline{X}_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ V(X̅ₙ)=σ²/n (terminale)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, concentration (terminale)
Loi des grands nombres (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le paradoxe de la petite taille
1,5 min
On interroge 1 000 personnes sur une question à réponse oui/non ; la proportion inconnue de « oui » dans la population est $p$ p. Problématique : avec quelle précision la fréquence observée $F$ F approche-t-elle $p$ p ?
2. Modéliser l'échantillon
3 min
Chaque personne interrogée au hasard répond « oui » avec probabilité $p$ p : on modélise par $n$ n variables de Bernoulli indépendantes $X_{i}$ Xᵢ. Le nombre de « oui » suit la loi binomiale $B (n, p)$ mathcal B(n,p), et la fréquence $F = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ F=(X₁+…+Xₙ)/n vérifie $E (F) = p$ E(F)=p et $V (F) = \frac{p ( 1 - p )}{n}$ V(F)=(p(1-p))/n.
La taille de la population n'apparaît nulle part : seule compte la taille de l'échantillon, à condition qu'il soit tiré au hasard.
3. Une garantie chiffrée
4 min
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P (∣ F - p ∣ \geq δ) \leq \frac{V ( F )}{δ ^{2}} = \frac{p ( 1 - p )}{n δ ^{2}}$ P(|F-p|≥δ)leV(F)/δ²=(p(1-p))/nδ². Comme $p (1 - p) \leq \frac{1}{4}$ p(1-p)≤1/4 (le maximum de la parabole est en $p = \frac{1}{2}$ p=1/2), on a, quel que soit $p$ p : $P (∣ F - p ∣ \geq δ) \leq \frac{1}{4 n δ ^{2}}$ P(|F-p|≥δ)≤1/4nδ².
Pour $n = 1000$ n=1 000 et $δ = 0, 05$ δ=0,05 : $\frac{1}{4 \times 1 000 \times 0 , 0025} = 0, 1$ 1/(4×1 000×0,0025)=0,1. La fréquence est donc à moins de 5 points de la vraie proportion avec une probabilité d'au moins 90 %.
Cette borne est prudente : les instituts annoncent une marge d'environ 3 points, obtenue avec une approximation plus fine. Mais elle se démontre entièrement avec le programme.
4. Conclusion
1,5 min
Un échantillon de 1 000 personnes suffit parce que la précision dépend de $\frac{1}{n}$ 1/( √n ), pas de la taille du pays. La limite est ailleurs : un échantillon biaisé (personnes non joignables, réponses insincères) fausse le résultat, quelle que soit sa taille. J'ouvre sur la loi des grands nombres, qui dit que la fréquence converge vers $p$ p quand $n$ n grandit.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (∣ F - p ∣ \geq δ) \leq \frac{p ( 1 - p )}{n δ ^{2}} \leq \frac{1}{4 n δ ^{2}} (p (1 - p) \leq \frac{1}{4}) Pbigl(|F-p|\geqδbigr)\leq(p(1-p))/(n δ²)\leq1/(4n δ²) (p(1-p)\leq1/4) n = 1000, δ = 0, 05 : \frac{1}{4 \times 1 000 \times 0 , 0025} = 0, 1 n=1 000, δ=0,05 : 1/(4\times1 000\times0,0025)=0,1

Conclusion : la réponse à la question

Un sondage renseigne sur un pays entier parce que la variance de la fréquence observée ne dépend que de la taille de l'échantillon. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit une précision de 5 points à 90 % pour 1 000 personnes, à condition que l'échantillon soit représentatif.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de personnes faudrait-il pour une précision de 1 point à 90 % ?

Il faut $\frac{1}{4 n \times 0 , 0001} \leq 0, 1$ 1/4n×0,0001≤0,1, soit $n \geq 25000$ n≥25 000. Diviser l'erreur par 5 demande 25 fois plus de personnes : la précision varie comme $\frac{1}{n}$ 1/( √n ).

Démontrez que

p (1 - p) \leq \frac{1}{4}

p(1-p)≤1/4.

$\frac{1}{4} - p (1 - p) = p^{2} - p + \frac{1}{4} = (p - \frac{1}{2})^{2} \geq 0$ 1/4-p(1-p)=p²-p+1/4=(p-1/2)²≥0.

D'où vient la formule de la variance de F ?

Les $X_{i}$ Xᵢ sont indépendantes de variance $p (1 - p)$ p(1-p), donc $V (X_{1} + \dots + X_{n}) = n p (1 - p)$ V(X₁+…+Xₙ)=np(1-p), et $V (F) = \frac{1}{n ^{2}} \times n p (1 - p)$ V(F)=1/n²× np(1-p).

Qu'est-ce qu'un biais de sondage ?

Un défaut de l'échantillon qui le rend non représentatif : par exemple, sonder uniquement par téléphone fixe. Les mathématiques supposent un tirage au hasard ; les instituts corrigent par la méthode des quotas et des redressements.

Énoncez la loi des grands nombres.

Pour tout $δ > 0$ δ>0, $P (∣ F_{n} - p ∣ \geq δ) \to 0$ P(|Fₙ-p|≥δ)→0 quand $n \to + \infty$ n→+∞ : la fréquence se concentre autour de la probabilité. Elle découle ici de la borne $\frac{1}{4 n δ ^{2}}$ 1/4nδ².

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'échantillon doit être proportionnel à la population.
Présenter la marge d'erreur comme une certitude : c'est une probabilité.
Oublier l'hypothèse d'indépendance et de tirage au hasard.

Revoir les notions

Autres questions : hasard et probabilités

Toutes les questions de maths →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →