Démontrez $Aₙ^(k)=k!binom nk$.

Former une liste ordonnée de $k$ éléments, c'est choisir le groupe ($binom nk$ façons) puis l'ordonner ($k!$ façons).

Question de mathsMathsDénombrement

Quand l'ordre compte-t-il dans un dénombrement ?

Q: Combien de bureaux (président, trésorier, secrétaire) dans un club de 20 membres ?

$20×19×18=6 840$ : les postes sont distincts, l'ordre compte.

Q: Tirage de 2 cartes dans un jeu de 32 : probabilité d'avoir 2 as, avec les deux modèles.

Combinaisons : $fracbinom42binom322=6/496$. Arrangements : $4×3/32×31=12/992$. Même résultat, $3/248$.

Un podium de 3 coureurs parmi 8 se compte en arrangements (336), un groupe de 3 qualifiés en combinaisons (56) : le rapport 3! = 6 mesure l'information apportée par l'ordre.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En cours de dénombrement, je me trompais souvent entre arrangements et combinaisons. Un jour, en comparant un podium olympique et une liste de qualifiés, j'ai compris que la seule question à se poser est : deux résultats qui ne diffèrent que par l'ordre sont-ils différents ? J'ai voulu en faire un critère clair et démontré.

L'enjeu et les notions du programme

Choisir le bon modèle de dénombrement (listes, arrangements, combinaisons) et comprendre le lien algébrique entre eux.

Mathématiques

Arrangements $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ Aₙ^(k)=n!/((n-k)!) (terminale)
Combinaisons $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ binom nk=n!/(k!(n-k)!) (terminale)
$k$ k-uplets avec répétition : $n^{k}$ n^(k) (terminale)
Probabilités en situation d'équiprobabilité (seconde et terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : podium ou qualifiés ?
1,5 min
Une finale réunit 8 coureurs. On peut s'intéresser au podium (or, argent, bronze) ou aux 3 coureurs qualifiés pour la suite. Problématique : combien de résultats possibles dans chaque cas, et comment savoir quelle formule utiliser ?
2. Trois modèles
3,5 min
Podium : l'ordre compte et un coureur ne peut pas occuper deux marches. Par le principe multiplicatif : $8 \times 7 \times 6 = 336$ 8×7×6=336 podiums. Ce sont des arrangements, $A_{8}^{3} = \frac{8 !}{5 !}$ A₈³=8!/5!.
Qualifiés : seul compte le groupe. Chaque groupe de 3 correspond à $3! = 6$ 3!=6 podiums, donc il y a $\frac{336}{6} = 56$ 336/6=56 groupes : $(3 8)$ binom83.
Pronostic avec répétition possible (on parie sur le vainqueur de 3 courses différentes) : $8^{3} = 512$ 8³=512 issues.
3. Le critère et ses conséquences en probabilités
3,5 min
Le critère : deux résultats qui ne diffèrent que par l'ordre sont-ils distincts ? Oui : arrangements ; non : combinaisons. Peut-on répéter un élément ? Oui : $n^{k}$ n^(k).
Conséquence : la probabilité de deviner le bon podium au hasard est $\frac{1}{336}$ 1/336, celle de deviner les 3 qualifiés $\frac{1}{56}$ 1/56, six fois plus. En probabilités, on peut choisir l'un ou l'autre modèle, à condition de rester cohérent entre les cas favorables et les cas possibles.
4. Conclusion
1,5 min
L'ordre compte quand il porte une information : un podium distingue l'or du bronze, une liste de qualifiés non. La relation $A_{n}^{k} = k! (k n)$ Aₙ^(k)=k!binom nk relie les deux modèles. J'ouvre sur le Loto, où l'ordre de tirage des boules n'a pas d'importance : on compte des combinaisons.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A_{8}^{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336 (3 8) = \frac{336}{3 !} = 56 8^{3} = 512 A₈³=8\times7\times6=336 binom83=336/3!=56 8³=512 A_{n}^{k} = k! \times (k n) Aₙ^(k)=k!\timesbinom nk

Conclusion : la réponse à la question

Pour savoir si l'ordre compte, on se demande si deux résultats qui ne diffèrent que par l'ordre sont distincts. Les arrangements comptent les listes ordonnées, les combinaisons les groupes, et la relation $A_{n}^{k} = k! (k n)$ Aₙ^(k)=k!binom nk les relie.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de bureaux (président, trésorier, secrétaire) dans un club de 20 membres ?

$20 \times 19 \times 18 = 6840$ 20×19×18=6 840 : les postes sont distincts, l'ordre compte.

Et combien de comités de 3 membres ?

$(3 20) = 1140 = \frac{6 840}{6}$ binom203=1 140=(6 840)/6.

Tirage de 2 cartes dans un jeu de 32 : probabilité d'avoir 2 as, avec les deux modèles.

Combinaisons : $\frac{( 2 4 )}{( 2 32 )} = \frac{6}{496}$ fracbinom42binom322=6/496. Arrangements : $\frac{4 \times 3}{32 \times 31} = \frac{12}{992}$ 4×3/32×31=12/992. Même résultat, $\frac{3}{248}$ 3/248.

Pourquoi un code de cadenas à 4 chiffres n'est-il pas une combinaison au sens mathématique ?

Parce que l'ordre compte et que les chiffres peuvent se répéter : il y a $1 0^{4}$ 10⁴ codes. Le mot « combinaison » du langage courant est trompeur.

Démontrez

A_{n}^{k} = k! (k n)

Aₙ^(k)=k!binom nk.

Former une liste ordonnée de $k$ k éléments, c'est choisir le groupe ( $(k n)$ binom nk façons) puis l'ordonner ( $k!$ k! façons).

Comment éviter de se tromper de modèle en pratique ?

On écrit deux résultats qui ne diffèrent que par l'ordre et on se demande s'ils correspondent à des situations différentes. Puis on vérifie sur un petit cas que l'on peut énumérer à la main, par exemple 3 coureurs parmi 4 : $A_{4}^{3} = 24$ A₄³=24 podiums et $(3 4) = 4$ binom43=4 groupes.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser une combinaison pour un podium.
Mélanger les deux modèles entre cas favorables et cas possibles.
Appeler « combinaison » un code de cadenas.

Revoir les notions

Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →

Autres questions : dénombrement

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

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