Question de mathsMathsHasard et probabilités

Peut-on calculer une probabilité difficile en simulant le hasard ?

Q: Pourquoi diviser l'erreur par 2 demande-t-il 4 fois plus de simulations ?

Parce que la borne est en $1/Nδ²$ : pour garder la même probabilité avec $fracδ2$, il faut multiplier $N$ par 4. La précision varie comme $1/( √N )$.

Q: Quelle est l'erreur typique avec 1 000 simulations ?

L'écart type de $F_N$ vaut $√((p(1-p))/N)≤1/(2√(1 000))≈0,016$ : environ 1,6 point.

Quand un calcul exact est trop complexe, on répète l'expérience en Python et on prend la fréquence observée ; la loi des grands nombres justifie la méthode et Bienaymé-Tchebychev indique combien de simulations faire pour une précision donnée.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En travaillant sur un problème de probabilités trop compliqué pour moi (la probabilité qu'une marche aléatoire revienne à son point de départ), mon professeur m'a suggéré de le simuler. J'ai été surpris d'obtenir une valeur fiable sans formule. J'ai voulu comprendre pourquoi cette méthode fonctionne et quelle confiance lui accorder.

L'enjeu et les notions du programme

Justifier une méthode de simulation par la loi des grands nombres et dimensionner le nombre de simulations : le lien entre probabilités et algorithmique.

Mathématiques

Simulation d'une expérience aléatoire en Python (première et terminale)
Loi des grands nombres (terminale)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et taille d'échantillon (terminale)
Probabilités conditionnelles et arbres pour valider (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : quand le calcul résiste
1,5 min
Certaines probabilités sont difficiles à calculer exactement. Exemple : on lance 10 fois une pièce ; quelle est la probabilité d'obtenir au moins 4 « pile » consécutifs ? Problématique : peut-on obtenir une valeur fiable en simulant l'expérience, et avec quelle précision ?
2. Le principe et sa justification
3,5 min
On écrit un programme qui simule une série de 10 lancers et teste si elle contient 4 « pile » consécutifs. On répète $N$ N fois et on calcule la fréquence $F_{N}$ F_N des séries réussies.
Si $p$ p est la probabilité cherchée, chaque série est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ p, indépendante des autres. La loi des grands nombres affirme que $F_{N}$ F_N se rapproche de $p$ p quand $N$ N grandit : la fréquence est une estimation de la probabilité.
3. Combien de simulations faut-il ?
3,5 min
Bienaymé-Tchebychev donne $P (∣ F_{N} - p ∣ \geq δ) \leq \frac{p ( 1 - p )}{N δ ^{2}} \leq \frac{1}{4 N δ ^{2}}$ P(|F_N-p|≥δ)≤(p(1-p))/Nδ²≤1/4Nδ².
Pour être à moins de $0, 01$ 0,01 de $p$ p avec une probabilité d'au moins 95 %, il suffit que $\frac{1}{4 N \times 0 , 0001} \leq 0, 05$ 1/4N×0,0001≤0,05, soit $N \geq 50000$ N≥50 000. Un ordinateur fait cela en une fraction de seconde.
On valide la méthode sur un cas connu : pour « au moins un pile en 2 lancers », la simulation doit donner environ $\frac{3}{4}$ 3/4. Pour notre problème, on trouve environ $0, 25$ 0,25 : la valeur exacte, obtenue par un dénombrement plus difficile, est $\frac{251}{1 024} \approx 0, 245$ 251/(1 024)≈0,245.
4. Conclusion
1,5 min
Oui : simuler le hasard permet d'estimer une probabilité, et la loi des grands nombres garantit que l'estimation s'améliore avec le nombre de simulations ; Bienaymé-Tchebychev dit combien en faire. La simulation ne remplace pas la démonstration, mais elle guide et vérifie le calcul. J'ouvre sur la méthode de Monte-Carlo pour calculer des aires et même $π$ π.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

F_{N} = \frac{nombre de s e ˊ ries r e ˊ ussies}{N} N \to + \infty p (loi des grands nombres) F_N=(nombre de séries réussies)/N \to p ( loi des grands nombres ) P (∣ F_{N} - p ∣ \geq δ) \leq \frac{1}{4 N δ ^{2}} \leq 0, 05 avec δ = 0, 01 ⟺ N \geq 50000 P(|F_N-p|\geqδ)\leq1/4Nδ² \leq0,05 avec δ=0,01\Leftrightarrow N\geq50 000

Conclusion : la réponse à la question

La simulation transforme une probabilité difficile en fréquence observable. Elle est justifiée par la loi des grands nombres et dimensionnée par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; elle reste une estimation, qu'il faut toujours accompagner de sa précision.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Écrivez la fonction qui teste 4 « pile » consécutifs.

On parcourt la liste des lancers avec un compteur : on l'incrémente sur un pile, on le remet à 0 sur un face, et on renvoie True dès qu'il atteint 4.

Pourquoi diviser l'erreur par 2 demande-t-il 4 fois plus de simulations ?

Parce que la borne est en $\frac{1}{N δ ^{2}}$ 1/Nδ² : pour garder la même probabilité avec $\frac{δ}{2}$ fracδ2, il faut multiplier $N$ N par 4. La précision varie comme $\frac{1}{N}$ 1/( √N ).

Le générateur aléatoire de Python est-il vraiment aléatoire ?

Non, il est pseudo-aléatoire : une suite déterministe qui imite le hasard. Il est suffisant pour les simulations, pas pour la cryptographie.

Comment vérifier la valeur 251/1 024 ?

On compte les suites de 10 lancers sans 4 « pile » consécutifs par une relation de récurrence : il y en a 773, donc $1 - \frac{773}{1 024} = \frac{251}{1 024}$ 1-773/(1 024)=251/(1 024).

Quelle est l'erreur typique avec 1 000 simulations ?

L'écart type de $F_{N}$ F_N vaut $\frac{p ( 1 - p )}{N} \leq \frac{1}{2 1 000} \approx 0, 016$ √((p(1-p))/N)≤1/(2√(1 000))≈0,016 : environ 1,6 point.

Les pièges qui coûtent des points

Présenter la fréquence simulée comme la valeur exacte.
Oublier de valider le programme sur un cas dont on connaît la réponse.
Confondre nombre de lancers par série (10) et nombre de séries simulées (N).

Revoir les notions

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