À partir de quel rang $2ⁿ>n¹⁰$ ?

Pour tout $n≥59$ (on a aussi $2¹>1¹⁰$, mais l'inégalité est fausse de $n=2$ à $n=58$). On le trouve avec un algorithme de seuil ; le calcul montre que $2⁵⁸≈2,9×10¹⁷$ est encore inférieur à $58¹⁰≈4,3×10¹⁷$.

Pourquoi $(ln x)/x→0$ ?

On pose $x=e^(t)$ : $(ln x)/x=t/e^(t)$, qui tend vers 0 quand $t→+∞$ d'après le résultat précédent.

Que vaut $lim_x→-inftyxe^(x)$ ?

On pose $t=-x$ : $xe^(x)=-t/e^(t)→0$. C'est une autre forme des croissances comparées.

Question de mathsMathsL'infini, les suites et les limites

Pourquoi une croissance exponentielle finit-elle toujours par dépasser une croissance polynomiale ?

Q: Pourquoi avoir montré l'inégalité avec x²/2 et pas avec 1 + x ?

L'inégalité $e^(x)≥1+x$ donne seulement $e^(x)/x≥1+1/x$, qui ne tend pas vers $+∞$. Il faut un terme de degré 2 pour « gagner » sur $x$.

Les croissances comparées : eˣ/x tend vers +∞, puis eˣ/xⁿ aussi, quel que soit n. Exemple : 2ⁿ dépasse définitivement n¹⁰ à partir de n = 59.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai comparé dans un tableur $2^{n}$ 2ⁿ et $n^{10}$ n¹⁰ : pendant des dizaines de lignes, la puissance écrase l'exponentielle, puis tout bascule. Je voulais comprendre pourquoi le basculement finit toujours par arriver, quel que soit l'exposant, et le démontrer plutôt que de le constater.

L'enjeu et les notions du programme

Les croissances comparées, outil central pour lever les formes indéterminées et pour comprendre ce que signifie concrètement une croissance exponentielle.

Mathématiques

Fonction exponentielle, dérivée et variations (première)
Étude de fonctions et inégalités par la dérivée (première et terminale)
Croissances comparées : $lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ lime^(x)/xⁿ=+∞ (terminale)
Théorème de comparaison pour les limites (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une course entre deux croissances
1,5 min
Je montre le tableau de $2^{n}$ 2ⁿ et $n^{10}$ n¹⁰ : à $n = 30$ n=30, $n^{10}$ n¹⁰ est environ 500 000 fois plus grand ; à $n = 59$ n=59, $2^{n}$ 2ⁿ passe devant et ne sera plus jamais rattrapé. Problématique : pourquoi l'exponentielle gagne-t-elle toujours, et comment le démontrer ?
2. Première étape : l'exponentielle bat x
3,5 min
On montre que $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ e^(x)≥1+x+x²/2 pour $x \geq 0$ x≥0. Soit $g (x) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}$ g(x)=e^(x)-1-x-x²/2 : $g^{'} (x) = e^{x} - 1 - x$ g'(x)=e^(x)-1-x et $g^{''} (x) = e^{x} - 1 \geq 0$ g''(x)=e^(x)-1≥0 sur $[0, + \infty [$ [0,+∞[. Donc $g^{'}$ g' est croissante avec $g^{'} (0) = 0$ g'(0)=0, donc $g^{'} \geq 0$ g'≥0, donc $g$ g est croissante avec $g (0) = 0$ g(0)=0, donc $g \geq 0$ g≥0.
On en déduit $\frac{e ^{x}}{x} \geq \frac{x}{2}$ e^(x)/xgeqx/2 pour $x > 0$ x>0, et par comparaison $\frac{e ^{x}}{x} \to + \infty$ e^(x)/x→+∞.
3. Deuxième étape : toutes les puissances
3,5 min
Pour un entier $n \geq 1$ n≥1, on écrit $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} = (\frac{e ^{x / n}}{x})^{n} = \frac{1}{n ^{n}} (\frac{e ^{x / n}}{x / n})^{n}$ e^(x)/xⁿ=((e^(x/n))/x)ⁿ=1/nⁿ((e^(x/n))/(x/n))ⁿ. Quand $x \to + \infty$ x→+∞, $X = \frac{x}{n} \to + \infty$ X=x/n→+∞, donc $\frac{e ^{X}}{X} \to + \infty$ e^(X)/X→+∞, et sa puissance $n$ n-ième aussi.
Interprétation : multiplier $x$ x par 2 multiplie $x^{n}$ xⁿ par $2^{n}$ 2ⁿ, un facteur fixe, alors qu'ajouter une quantité fixe à $x$ x multiplie déjà $e^{x}$ e^(x) par un facteur fixe. Pour l'exponentielle, ce sont les additions qui produisent des multiplications : c'est pour cela qu'elle finit par gagner.
4. Conclusion
1,5 min
L'exponentielle domine toute puissance, mais le basculement peut être tardif : c'est ce qui rend les croissances exponentielles trompeuses (épidémies, intérêts composés). J'ouvre sur la comparaison inverse : $\frac{l n x}{x} \to 0$ (ln x)/x→0, le logarithme est battu par toute puissance positive, ce qui place les trois familles de fonctions dans un ordre de croissance très net.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

g (x) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}, g^{''} (x) = e^{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow e^{x} \geq \frac{x ^{2}}{2} (x \geq 0) \Rightarrow \frac{e ^{x}}{x} \geq \frac{x}{2} \to + \infty g(x)=e^(x)-1-x-x²/2, g''(x)=e^(x)-1\geq0 \Rightarrow e^(x)geqx²/2 (x\geq0) \Rightarrow e^(x)/xgeqx/2\to+\infty \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = \frac{1}{n ^{n}} (\frac{e ^{x / n}}{x / n})^{n} x \to + \infty + \infty e^(x)/xⁿ=1/nⁿ((e^(x/n))/(x/n))ⁿ \to +\infty

Conclusion : la réponse à la question

L'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances, parce qu'elle transforme une augmentation additive en une multiplication. On le démontre par une inégalité obtenue en étudiant des fonctions, puis par un changement de variable. Le basculement peut cependant arriver très tard, ce qu'il faut garder à l'esprit dans les applications.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

À partir de quel rang

2^{n} > n^{10}

2ⁿ>n¹⁰ ?

Pour tout $n \geq 59$ n≥59 (on a aussi $2^{1} > 1^{10}$ 2¹>1¹⁰, mais l'inégalité est fausse de $n = 2$ n=2 à $n = 58$ n=58). On le trouve avec un algorithme de seuil ; le calcul montre que $2^{58} \approx 2, 9 \times 1 0^{17}$ 2⁵⁸≈2,9×10¹⁷ est encore inférieur à $5 8^{10} \approx 4, 3 \times 1 0^{17}$ 58¹⁰≈4,3×10¹⁷.

Pourquoi

\frac{l n x}{x} \to 0

(ln x)/x→0 ?

On pose $x = e^{t}$ x=e^(t) : $\frac{l n x}{x} = \frac{t}{e ^{t}}$ (ln x)/x=t/e^(t), qui tend vers 0 quand $t \to + \infty$ t→+∞ d'après le résultat précédent.

Que vaut

lim_{x \to - \infty} x e^{x}

lim_x→-inftyxe^(x) ?

On pose $t = - x$ t=-x : $x e^{x} = - \frac{t}{e ^{t}} \to 0$ xe^(x)=-t/e^(t)→0. C'est une autre forme des croissances comparées.

Pourquoi avoir montré l'inégalité avec x²/2 et pas avec 1 + x ?

L'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ e^(x)≥1+x donne seulement $\frac{e ^{x}}{x} \geq 1 + \frac{1}{x}$ e^(x)/x≥1+1/x, qui ne tend pas vers $+ \infty$ +∞. Il faut un terme de degré 2 pour « gagner » sur $x$ x.

Où rencontre-t-on ce phénomène dans la vie courante ?

Dans les intérêts composés, la croissance d'une population de bactéries ou le début d'une épidémie : un doublement régulier finit par dépasser n'importe quelle croissance proportionnelle à une puissance du temps.

Les pièges qui coûtent des points

Affirmer le résultat en citant le cours sans aucune justification, alors que la démonstration est au programme.
Penser que $2^{n}$ 2ⁿ dépasse $n^{10}$ n¹⁰ « rapidement » : le seuil est 59.
Oublier que la limite $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \to + \infty$ e^(x)/xⁿ→+∞ concerne $x \to + \infty$ x→+∞, pas $x \to 0$ x→0.

Revoir les notions

Autres questions : l'infini, les suites et les limites

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